Um número é escolhido ao acaso no conjunto
. Verificar se são independentes os eventos:
(a) A: o número é múltiplo de três; B: o número é par.
(a) A: o número é múltiplo de três; B: o número é par.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos um conjunto de números de 1 a 20, e vamos escolher um número ao acaso. Queremos verificar se dois eventos são independentes:
- Evento A: o número escolhido é múltiplo de três.
- Evento B: o número escolhido é par.
Independência entre eventos significa que a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Para isso, vamos precisar calcular as probabilidades de cada evento e a probabilidade de ambos ocorrerem juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a probabilidade do Evento A ocorrer, ou seja, escolher um múltiplo de três. No conjunto de 1 a 20, os múltiplos de três são: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Temos 6 múltiplos de três.
Então, a probabilidade de A é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade do Evento B ocorrer, que é escolher um número par. No conjunto de 1 a 20, os números pares são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Temos 10 números pares.
Assim, a probabilidade de B é:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a probabilidade de A e B ocorrerem juntos, ou seja, escolher um número que seja múltiplo de três e par ao mesmo tempo. Olhando para os múltiplos de três que também são pares: 6, 12, 18. Temos 3 números que satisfazem ambos os eventos.
Portanto, a probabilidade de A e B ocorrerem juntos é:
Passo 5
Para verificar se os eventos são independentes, usamos a seguinte condição:
Vamos calcular o lado direito da equação:
Passo 6
Agora, comparamos as duas partes:
Como ambos os valores são iguais, isso confirma que os eventos A e B são independentes.
Resposta
Os eventos A (múltiplo de três) e B (par) são independentes.
Exercícios relacionados
Dado
. Calcular:
(a)
(a)
Se
e
e
. Calcular
(b) .
(b)
São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B contém duas bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na urna B. Uma bola é então extraída ao acaso, da urna B. Pergunta-se:
(a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?
(a) Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor?
A probabilidade de o aluno
resolver esse problema é
e do aluno
é
. Eles trabalham na solução do mesmo independentemente, qual é a probabilidade de que o problema seja resolvido?