Um número é escolhido ao acaso no conjunto 1,2,3, ldots, 19,20. Verificar se são independentes os eventos:
(a) A: o número é múltiplo de três; B: o número é par.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos um conjunto de números de 1 a 20, e vamos escolher um número ao acaso. Queremos verificar se dois eventos são independentes:
  • Evento A: o número escolhido é múltiplo de três.
  • Evento B: o número escolhido é par.
Independência entre eventos significa que a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Para isso, vamos precisar calcular as probabilidades de cada evento e a probabilidade de ambos ocorrerem juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a probabilidade do Evento A ocorrer, ou seja, escolher um múltiplo de três. No conjunto de 1 a 20, os múltiplos de três são: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Temos 6 múltiplos de três.
Então, a probabilidade de A é:
P(A) = 620 = 310

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade do Evento B ocorrer, que é escolher um número par. No conjunto de 1 a 20, os números pares são: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Temos 10 números pares.
Assim, a probabilidade de B é:
P(B) = 1020 = 12

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a probabilidade de A e B ocorrerem juntos, ou seja, escolher um número que seja múltiplo de três e par ao mesmo tempo. Olhando para os múltiplos de três que também são pares: 6, 12, 18. Temos 3 números que satisfazem ambos os eventos.
Portanto, a probabilidade de A e B ocorrerem juntos é:
P(A cap B) = 320

Passo 5

Para verificar se os eventos são independentes, usamos a seguinte condição:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Vamos calcular o lado direito da equação:
P(A) times P(B) = 310 times 12 = 320

Passo 6

Agora, comparamos as duas partes:
P(A cap B) = 320
P(A) times P(B) = 320
Como ambos os valores são iguais, isso confirma que os eventos A e B são independentes.

Resposta

Os eventos A (múltiplo de três) e B (par) são independentes.

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