Um número finito na representação decimal pode ser um número infinito na base binária?

Passo 1

Vamos entender a questão: estamos perguntando se um número que tem uma representação finita no sistema decimal pode ter uma representação infinita no sistema binário. Para resolver isso, vamos precisar saber como funcionam as representações decimais e binárias dos números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no sistema decimal, usamos base 10, ou seja, cada posição representa potências de 10. Já no sistema binário, usamos base 2, com cada posição representando potências de 2.

Passo 3

Um número finito no decimal significa que temos um número com, no máximo, um número finito de casas decimais após a vírgula. Por exemplo, 0,5 é finito no decimal.

Passo 4

Para converter um número decimal finito para binário, precisamos ver se ele pode ser expresso como uma soma finita de potências negativas de 2. Se for possível, a representação binária também será finita; caso contrário, será infinita.

Passo 5

Vamos pegar um exemplo: 0,5 no decimal. Sabemos que 0,5 é igual a . No binário, isso é representado como 0,1, que é finito.

Passo 6

Outro exemplo: 0,1 no decimal. Para converter para binário, fazemos a divisão sucessiva por 2:
0,1 × 2 = 0,2 → 0
0,2 × 2 = 0,4 → 0
0,4 × 2 = 0,8 → 0
0,8 × 2 = 1,6 → 1
E assim por diante. Vemos que a sequência se repete indefinidamente, o que significa que a representação binária é infinita.

Passo 7

Isso acontece porque nem todo número decimal finito pode ser representado com precisão no binário. Só números que podem ser expressos como frações com denominador potência de 2 têm representações binárias finitas.

Passo 8

Portanto, se um número decimal finito não puder ser expresso como uma fração cujos denominadores são potências de 2, sua representação binária será infinita.

Resposta

Sim, um número finito na representação decimal pode ter uma representação infinita na base binária quando não pode ser expresso como uma fração com denominador sendo uma potência de 2.

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