Se n é um número inteiro positivo, quantos valores de n fazem com que a expressão (n² - 5n + 6) / (n - 1) seja um número inteiro?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma expressão n^2 - 5n + 6n - 1 e queremos descobrir para quais números inteiros positivos de n essa fração dá um número inteiro. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente o conceito de divisão de polinômios e fatores.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão n^2 - 5n + 6n - 1. Para isso, vamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador. Vamos ver se o numerador pode ser fatorado.

Passo 3

O numerador é n^2 - 5n + 6. Vamos fatorar esse trinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então, podemos escrever:
n^2 - 5n + 6 = (n - 2)(n - 3)

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão original:
(n - 2)(n - 3)n - 1
Não dá para simplificar mais diretamente, então vamos pensar em quando essa fração dá um número inteiro. Isso acontece quando o denominador n - 1 divide o numerador completamente, ou seja, quando n - 1 é um fator de (n - 2)(n - 3).

Passo 5

Vamos considerar quando n - 1 divide (n - 2)(n - 3). Podemos rearranjar os termos no numerador:
(n - 2)(n - 3) = (n - 1 - 1)(n - 1 - 2) = (n - 1 - a)(n - 1 - b)
Isso nos ajuda a ver que n - 1 pode estar relacionado aos fatores do numerador.

Passo 6

Outra abordagem é pensar que para a fração ser um número inteiro, n - 1 deve ser divisor de 6. Isso porque, se substituirmos n = 1 + k, teremos:
(1 + k)^2 - 5(1 + k) + 6k = 1 + 2k + k^2 - 5 - 5k + 6k = k^2 - 3k + 2k = k - 3 + 2k
Para isso ser inteiro, 2k deve ser inteiro, ou seja, k deve ser divisor de 2.

Passo 7

Então, os divisores positivos de 2 são 1 e 2. Portanto, k pode ser 1 ou 2, o que significa que n = 1 + k pode ser 2 ou 3.

Passo 8

Além disso, se considerarmos k = pm 1 e k = pm 2, mas como n deve ser um número inteiro positivo, vamos verificar:
  • Se k = 1, então n = 2
  • Se k = 2, então n = 3
Valores negativos de k resultariam em n <= 0, que não são positivos.

Passo 9

Vamos testar esses valores de n na expressão original:
  • Para n = 2:
2^2 - 5(2) + 62 - 1 = 4 - 10 + 61 = 0 (inteiro)
  • Para n = 3:
3^2 - 5(3) + 63 - 1 = 9 - 15 + 62 = 0 (inteiro)

Resposta

Existem 2 valores de n que tornam a expressão n^2 - 5n + 6n - 1 um número inteiro positivo: n = 2 e n = 3.

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