Se n é um número inteiro positivo, quantos valores de n fazem com que a expressão (n² - 5n + 6) / (n - 1) seja um número inteiro?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma expressão
e queremos descobrir para quais números inteiros positivos de
essa fração dá um número inteiro. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente o conceito de divisão de polinômios e fatores.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para isso, vamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador. Vamos ver se o numerador pode ser fatorado.
Passo 3
O numerador é
. Vamos fatorar esse trinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Não dá para simplificar mais diretamente, então vamos pensar em quando essa fração dá um número inteiro. Isso acontece quando o denominador
divide o numerador completamente, ou seja, quando
é um fator de
.
Passo 5
Vamos considerar quando
divide
. Podemos rearranjar os termos no numerador:
Isso nos ajuda a ver que
pode estar relacionado aos fatores do numerador.
Passo 6
Outra abordagem é pensar que para a fração ser um número inteiro,
deve ser divisor de 6. Isso porque, se substituirmos
, teremos:
Para isso ser inteiro,
deve ser inteiro, ou seja,
deve ser divisor de 2.
Passo 7
Então, os divisores positivos de 2 são 1 e 2. Portanto,
pode ser 1 ou 2, o que significa que
pode ser 2 ou 3.
Passo 8
Além disso, se considerarmos
e
, mas como
deve ser um número inteiro positivo, vamos verificar:
- Se
, então - Se
, então
Valores negativos de
resultariam em
, que não são positivos.
Passo 9
Vamos testar esses valores de
na expressão original:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Existem 2 valores de
que tornam a expressão
um número inteiro positivo:
e
.