O número médio de nascimentos por minuto nos Estados Unidos, em um ano recente, era cerca de oito. Determine a probabilidade de que o número de nascimentos em qualquer minuto dado seja (a) exatamente cinco, (b) pelo menos cinco e © mais que cinco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que, nos Estados Unidos, em média, nascem 8 bebês por minuto. Queremos descobrir três coisas: a probabilidade de exatamente 5 nascimentos em um minuto, de pelo menos 5 nascimentos e de mais que 5 nascimentos nesse mesmo minuto. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo quando esses eventos ocorrem de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela nos dá a probabilidade de um certo número de eventos acontecer em um intervalo específico, sabendo a taxa média de ocorrência desses eventos. A fórmula da Distribuição de Poisson é:
Onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ eventos ocorrerem.
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos por intervalo (no nosso caso, 8 nascimentos por minuto).
- $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Parte (a): Probabilidade de exatamente 5 nascimentos
Vamos aplicar a fórmula da Poisson para $ k = 5 $ e $ \lambda = 8 $:
Vamos calcular passo a passo:
- Calcular $ e^{-8} $.
- Calcular $ 8^{5} $.
- Calcular $ 5! $ (que é $ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $).
- Dividir o resultado de $ e^{-8} \times 8^{5} $ por 120.
Passo 4
Parte (b): Probabilidade de pelo menos 5 nascimentos
“pelo menos 5” significa que temos 5 ou mais nascimentos. Para isso, podemos somar as probabilidades de 5, 6, 7, e assim por diante, nascimentos. Mas uma maneira mais fácil é usar o complemento: calcular a probabilidade de menos de 5 nascimentos (ou seja, 0, 1, 2, 3, 4) e subtrair de 1.
Então, vamos calcular:
Cada $ P(k; 8) $ será calculado usando a fórmula de Poisson.
Passo 5
Parte ©: Probabilidade de mais que 5 nascimentos
“Mais que 5” significa que temos mais de 5 nascimentos, ou seja, 6 ou mais. Similar à parte (b), usamos o complemento, mas agora subtraímos as probabilidades de até 5 nascimentos.
Então,
Resposta
Calculando cada parte:
Parte (a):
Parte (b):
Parte ©:
Então, as probabilidades são:
- (a) cerca de 9,16% de exatamente 5 nascimentos.
- (b) aproximadamente 89,18% de pelo menos 5 nascimentos.
- © cerca de 80,02% de mais que 5 nascimentos.