O número médio de nascimentos por minuto nos Estados Unidos, em um ano recente, era cerca de oito. Determine a probabilidade de que o número de nascimentos em qualquer minuto dado seja (a) exatamente cinco, (b) pelo menos cinco e © mais que cinco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que, nos Estados Unidos, em média, nascem 8 bebês por minuto. Queremos descobrir três coisas: a probabilidade de exatamente 5 nascimentos em um minuto, de pelo menos 5 nascimentos e de mais que 5 nascimentos nesse mesmo minuto. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo quando esses eventos ocorrem de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela nos dá a probabilidade de um certo número de eventos acontecer em um intervalo específico, sabendo a taxa média de ocorrência desses eventos. A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ eventos ocorrerem.
  • $ \lambda $ é a taxa média de eventos por intervalo (no nosso caso, 8 nascimentos por minuto).
  • $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Parte (a): Probabilidade de exatamente 5 nascimentos
Vamos aplicar a fórmula da Poisson para $ k = 5 $ e $ \lambda = 8 $:
k = 5
Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular $ e^{-8} $.
  2. Calcular $ 8^{5} $.
  3. Calcular $ 5! $ (que é $ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $).
  4. Dividir o resultado de $ e^{-8} \times 8^{5} $ por 120.

Passo 4

Parte (b): Probabilidade de pelo menos 5 nascimentos
“pelo menos 5” significa que temos 5 ou mais nascimentos. Para isso, podemos somar as probabilidades de 5, 6, 7, e assim por diante, nascimentos. Mas uma maneira mais fácil é usar o complemento: calcular a probabilidade de menos de 5 nascimentos (ou seja, 0, 1, 2, 3, 4) e subtrair de 1.
P(pelo menos 5) = 1 - P(menos que 5)
Então, vamos calcular:
P(pelo menos 5) = 1 - ( P(0; 8) + P(1; 8) + P(2; 8) + P(3; 8) + P(4; 8) )
Cada $ P(k; 8) $ será calculado usando a fórmula de Poisson.

Passo 5

Parte ©: Probabilidade de mais que 5 nascimentos
“Mais que 5” significa que temos mais de 5 nascimentos, ou seja, 6 ou mais. Similar à parte (b), usamos o complemento, mas agora subtraímos as probabilidades de até 5 nascimentos.
P(mais que 5) = 1 - P(até 5) é
Então,
P(mais que 5) = 1 - ( P(0; 8) + P(1; 8) + P(2; 8) + P(3; 8) + P(4; 8) + P(5; 8) )

Resposta

Calculando cada parte:
Parte (a):
P(5; 8) = e^-8 times 8^55! approx 0.00033546 times 32768120 approx 0.0916 ou 9,16%
Parte (b):
P(pelo menos 5) = 1 - ( P(0; 8) + P(1; 8) + P(2; 8) + P(3; 8) + P(4; 8) ) approx 1 - 0.1082 = 0.8918 ou 89,18%
Parte ©:
P(mais que 5) = 1 - ( P(0; 8) + P(1; 8) + P(2; 8) + P(3; 8) + P(4; 8) + P(5; 8) ) approx 1 - 0.1998 = 0.8002 ou 80,02%
Então, as probabilidades são:
  • (a) cerca de 9,16% de exatamente 5 nascimentos.
  • (b) aproximadamente 89,18% de pelo menos 5 nascimentos.
  • © cerca de 80,02% de mais que 5 nascimentos.

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