Suponha que as variáveis aleatórias X e Y tenham função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)= e^-(x+y) I(x>0, y>0).
Calcule P(0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, e , com uma função densidade de probabilidade conjunta dada por quando e . O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de estar entre 0 e 1 e estar entre 1 e 2. Isso envolve conceitos de probabilidade conjunta e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa função densidade de probabilidade conjunta . Ela nos dá a “densidade” de probabilidade para cada par de valores de e . Para encontrar a probabilidade de e estarem em certos intervalos, a gente precisa integrar essa função sobre a região desses intervalos.

Passo 3

Então, para calcular P(0 < X < 1,, 1 < Y < 2) = integral0^1 integral1^2 e^-(x + y) , dy , dx , vamos montar a integral dupla sobre os intervalos de e :

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral1^2 e^-(x + y) , dy = e^-x integral1^2 e^-y , dy = e^-x [ -e^-y ]1^2 = e^-x ( -e^-2 + e^-1 ) = e^-x (e^-1 - e^-2) :
integral0^1 e^-x (e^-1 - e^-2) , dx = (e^-1 - e^-2) integral0^1 e^-x , dx = (e^-1 - e^-2) [ -e^-x ]0^1 = (e^-1 - e^-2) ( -e^-1 + 1 )
Agora, integramos em relação a (e^-1 - e^-2) (1 - e^-1) = e^-1 cdot 1 - e^-1 cdot e^-1 - e^-2 cdot 1 + e^-2 cdot e^-1 = e^-1 - e^-2 - e^-2 + e^-3 :
P(0 < X < 1,, 1 < Y < 2) = e^-1 - 2e^-2 + e^-3
Simplificando:
Então:

Resposta

A probabilidade é igual a , que aproximadamente é 0,2325.

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