Suponha que as variáveis aleatórias e tenham função densidade de probabilidade conjunta .
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, e , com uma função densidade de probabilidade conjunta dada por quando e . O que a gente precisa encontrar é a probabilidade de estar entre 0 e 1 e estar entre 1 e 2. Isso envolve conceitos de probabilidade conjunta e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa função densidade de probabilidade conjunta . Ela nos dá a “densidade” de probabilidade para cada par de valores de e . Para encontrar a probabilidade de e estarem em certos intervalos, a gente precisa integrar essa função sobre a região desses intervalos.

Passo 3

Então, para calcular , vamos montar a integral dupla sobre os intervalos de e :

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Simplificando:
Então:

Resposta

A probabilidade é igual a , que aproximadamente é 0,2325.

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