O número de mudanças de conteúdo em uma página da internet segue a distribuição Poisson, com uma média de 0.25 por dia.
Qual a probabilidade de duas ou menos mudanças em 10 dias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre quantas vezes o conteúdo de uma página da internet muda. Isso segue uma distribuição de Poisson, que é uma maneira de modelar eventos que acontecem de forma aleatória ao longo do tempo. No caso, a média é de 0,25 mudanças por dia. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de, em 10 dias, ocorrerem duas ou menos mudanças nessa página.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de vezes que um evento acontece em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda cdot lambda^kk!
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a média de eventos no intervalo.
  • $ e $ é a constante matemática aproximadamente igual a 2,71828.
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Agora, como a média é de 0,25 mudanças por dia, para 10 dias a gente multiplica essa média pelo número de dias para encontrar o novo $ \lambda $:
lambda
Então, para 10 dias, nossa média $ \lambda $ é 2,5 mudanças.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de ocorrerem duas ou menos mudanças em 10 dias. Isso significa que vamos calcular $ P(X \leq 2) $, que é a soma das probabilidades de exatamente 0, 1 e 2 mudanças:
P(X <= 2)
Usando a fórmula da distribuição de Poisson para cada valor de $ k $:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Passo 5

Vamos calcular cada termo individualmente:
  1. Para $ k = 0 $:
    k = 0
  2. Para $ k = 1 $:
    P(X = 0) = e^-2,5 cdot 2,5^00! = e^-2,5 cdot 1 / 1 = e^-2,5 approx 0,0821
  3. Para $ k = 2 $:
    k = 1
Agora, somamos essas probabilidades:
P(X = 1) = e^-2,5 cdot 2,5^11! = e^-2,5 cdot 2,5 / 1 approx 0,0821 times 2,5 approx 0,2053

Resposta

A probabilidade de ocorrerem duas ou menos mudanças em 10 dias é aproximadamente 54,4%.

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