Suponha que
dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Suponha que 5 pessoas são selecionadas de forma independente e ao acaso. Seja
o número de moradores que não tem alergia dentre o grupo de moradores selecionados.
Seja Y uma variável definida como o número de moradores selecionados até que um com alergia seja identificado. Calcule a probabilidade desse número ser igual a 4.
Seja Y uma variável definida como o número de moradores selecionados até que um com alergia seja identificado. Calcule a probabilidade desse número ser igual a 4.
Passo 1
Vamos lá! Temos um problema de probabilidade relacionado a moradores próximos de uma grande indústria siderúrgica. Sabemos que
desses moradores têm alergia aos poluentes lançados no ar. Queremos selecionar 5 pessoas aleatoriamente e descobrir a probabilidade de que a quarta pessoa selecionada seja a primeira com alergia. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como eventos independentes e distribuição geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a variável
. Ela representa o número de pessoas que precisamos selecionar até encontrar a primeira pessoa com alergia. Queremos calcular
, ou seja, a probabilidade de que as três primeiras pessoas não tenham alergia e a quarta pessoa tenha alergia.
Passo 3
Sabemos que a probabilidade de uma pessoa ter alergia é
, ou seja,
. Consequentemente, a probabilidade de uma pessoa não ter alergia é
, ou seja,
.
Passo 4
Como as seleções são independentes, a probabilidade de uma sequência de eventos acontece é o produto das probabilidades individuais desses eventos. Portanto, para que as três primeiras pessoas não tenham alergia e a quarta tenha, vamos multiplicar as probabilidades correspondentes.
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
- A primeira pessoa não tem alergia:
- A segunda pessoa não tem alergia:
- A terceira pessoa não tem alergia:
- A quarta pessoa tem alergia:
Passo 6
Multiplicando essas probabilidades:
Passo 7
Vamos calcular o valor:
Resposta
A probabilidade de que a quarta pessoa selecionada seja a primeira com alergia é
, ou seja,
.