Suponha que 10 % dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Suponha que 5 pessoas são selecionadas de forma independente e ao acaso. Seja X o número de moradores que não tem alergia dentre o grupo de moradores selecionados.
Seja Y uma variável definida como o número de moradores selecionados até que um com alergia seja identificado. Calcule a probabilidade desse número ser igual a 4.

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema de probabilidade relacionado a moradores próximos de uma grande indústria siderúrgica. Sabemos que 10% desses moradores têm alergia aos poluentes lançados no ar. Queremos selecionar 5 pessoas aleatoriamente e descobrir a probabilidade de que a quarta pessoa selecionada seja a primeira com alergia. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como eventos independentes e distribuição geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a variável Y. Ela representa o número de pessoas que precisamos selecionar até encontrar a primeira pessoa com alergia. Queremos calcular P(Y = 4), ou seja, a probabilidade de que as três primeiras pessoas não tenham alergia e a quarta pessoa tenha alergia.

Passo 3

Sabemos que a probabilidade de uma pessoa ter alergia é 10%, ou seja, P(a<=rgia) = 0,10. Consequentemente, a probabilidade de uma pessoa não ter alergia é 90%, ou seja, P(sem a<=rgia) = 0,90.

Passo 4

Como as seleções são independentes, a probabilidade de uma sequência de eventos acontece é o produto das probabilidades individuais desses eventos. Portanto, para que as três primeiras pessoas não tenham alergia e a quarta tenha, vamos multiplicar as probabilidades correspondentes.

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  • A primeira pessoa não tem alergia: P(sem a<=rgia) = 0,90
  • A segunda pessoa não tem alergia: P(sem a<=rgia) = 0,90
  • A terceira pessoa não tem alergia: P(sem a<=rgia) = 0,90
  • A quarta pessoa tem alergia: P(a<=rgia) = 0,10

Passo 6

Multiplicando essas probabilidades:
P(Y = 4) = 0,90 times 0,90 times 0,90 times 0,10

Passo 7

Vamos calcular o valor:
0,90 times 0,90 = 0,81
0,81 times 0,90 = 0,729
0,729 times 0,10 = 0,0729

Resposta

A probabilidade de que a quarta pessoa selecionada seja a primeira com alergia é 0,0729, ou seja, 7,29%.

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