Três diferentes máquinas são utilizadas para produzir uma peça. Sabendo que a máquina 1 produz 20 por cento das peças das quais 1 por cento são defeituosas. A máquina 2 produz 30 por cento das peças das quais 2 por cento são defeituosas e, a máquina 3 produz 50 por cento das peças das quais 3 por cento são defeituosas. Selecionando 1 item ao acaso, qual é a probabilidade de ele ser defeituoso? Se selecionarmos 2 itens, qual é a probabilidade dos dois serem defeituosos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem três máquinas diferentes que produzem peças, cada uma com uma porcentagem de produção e uma taxa de defeito diferente. Nosso objetivo é descobrir duas coisas:
  1. A probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa.
  2. A probabilidade de, ao escolhermos duas peças, ambas serem defeituosas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Máquina 1: Produz 20% das peças, e 1% delas são defeituosas.
  • Máquina 2: Produz 30% das peças, e 2% delas são defeituosas.
  • Máquina 3: Produz 50% das peças, e 3% delas são defeituosas.
Para encontrar a probabilidade de uma peça ser defeituosa, vamos usar a Regra da Probabilidade Total. Isso significa que vamos considerar a contribuição de cada máquina para a probabilidade total de defeito.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa de cada máquina:
  • Máquina 1:
    P(defeito | Máquina 1) = 0,2 times 0,01 = 0,002 ou 0,2% á
  • Máquina 2:
    P(defeito | Máquina 2) = 0,3 times 0,02 = 0,006 ou 0,6% á
  • Máquina 3:
    P(defeito | Máquina 3) = 0,5 times 0,03 = 0,015 ou 1,5% á

Passo 4

Agora, somamos essas probabilidades para obter a probabilidade total de uma peça ser defeituosa:
P(defeito total) = 0,002 + 0,006 + 0,015 = 0,023 ou 2,3%

Passo 5

Para a segunda parte do exercício, queremos a probabilidade de que duas peças escolhidas sejam ambas defeituosas. Assumindo que a escolha de uma peça não afeta a outra (eventos independentes), podemos multiplicar a probabilidade de uma peça ser defeituosa por ela mesma:
P(ambas defeituosas) = P(defeito total) times P(defeito total) = 0,023 times 0,023 = 0,000529 ou 0,0529%

Resposta

A probabilidade de uma peça escolhida ser defeituosa é 2,3%. Se selecionarmos duas peças, a probabilidade de ambas serem defeituosas é aproximadamente 0,0529%.

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