O número de onda da transição para a vibração fundamental do ^35 Cl2 é 569,9 cm^-1. Calcular a constante de força da ligação. (Resposta: 328,9 Nm^-1 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem o número de onda para a transição vibracional fundamental do ^35 Cl2, que é 569,9 cm^-1. Nosso objetivo aqui é calcular a constante de força da ligação entre os dois átomos de cloro nessa molécula. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física molecular, especificamente sobre o movimento vibracional das moléculas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o número de onda. O número de onda ( tildenu) está relacionado à frequência da vibração ( nu) pela relação:
tildenu = nuc
onde c é a velocidade da luz ( c = 3 times 10^10 cm/s).

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula que relaciona a frequência vibracional com a constante de força da ligação ( k) e a massa reduzida ( mu):
nu = 12pi raizkmu
Nosso objetivo é isolar k nessa equação. Mas antes, precisamos encontrar a massa reduzida da molécula de ^35 Cl2.

Passo 4

A massa reduzida ( mu) para uma molécula diatômica como o ^35 Cl2 é dada por:
mu = m1 m2m1 + m2
Como ambos os átomos são de cloro com a mesma massa ( m1 = m2 = m), a massa reduzida fica:
mu = m2

Passo 5

Vamos calcular a massa de um átomo de ^35 Cl. Sabemos que:
  • Massa atômica do ^35 Cl: aproximadamente 35 u.
  • 1 unidade de massa atômica (u) = 1,66054 times 10^-27 kg.
Então,
m = 35 times 1,66054 times 10^-27 kg = 5,812 times 10^-26 kg
Portanto,
mu = 5,812 times 10^-262 = 2,906 times 10^-26 kg

Passo 6

Agora, vamos relacionar o número de onda com a constante de força. A partir da equação do Passo 2 e da definição da frequência no Passo 3, temos:
tildenu = nuc = 12pi c raizkmu
Queremos isolar k, então vamos rearranjar a equação:
k = (2pi c tildenu)^2 mu

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • c = 3 times 10^10 cm/s
  • tildenu = 569,9 cm^-1
  • mu = 2,906 times 10^-26 kg
Primeiro, calculamos 2pi c tildenu:
2pi c tildenu = 2 times 3,1416 times 3 times 10^10 times 569,9 approx 1,079 times 10^14 s^-1
Agora, elevamos ao quadrado:
(2pi c tildenu)^2 approx (1,079 times 10^14)^2 = 1,164 times 10^28 s^-2
Por fim, multiplicamos pela massa reduzida:
k = 1,164 times 10^28 times 2,906 times 10^-26 approx 3,389 times 10^2 N/m

Resposta

A constante de força da ligação é aproximadamente 328,9 N/m.

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