Para a molécula de HCl observa-se experimentalmente a frequência fundamental e a primeira harmônica em 2886 e 5668 cm^-1. Calcular a constante de anarmonicidade e a energia de dissociação da molécula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a molécula de HCl. O enunciado nos dá duas frequências observadas experimentalmente: a frequência fundamental é 2886 cm⁻¹ e a primeira harmônica é 5668 cm⁻¹. Nosso objetivo é calcular a constante de anharmonicidade e a energia de dissociação da molécula. Para isso, vamos usar conceitos de oscilador harmônico e anharmônico na física molecular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas frequências. Na teoria do oscilador harmônico, a energia dos estados vibracionais é dada por:
Ev = (v + 12)hnu
Onde:
  • Ev = (v + 12)hnu - (v + 12)^2 h nu xe é a energia do nível vibracional ,
  • é a constante de Planck,
  • é a frequência fundamental.
No entanto, na realidade, as moléculas não se comportam exatamente como osciladores harmônicos. Existe uma pequena correção chamada de anharmonicidade, que ajusta as energias para que fiquem mais próximas das observadas experimentalmente. A energia com anharmonicidade é dada por:
Onde é a constante de anharmonicidade que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos relacionar as frequências observadas com a energia. A frequência fundamental E1 - E0 = hnu - hnu xe = 2886 , cm^-1 corresponde à transição de E2 - E0 = 2hnu - 4hnu xe = 5668 , cm^-1 para , e a primeira harmônica corresponde à transição de para . Então, temos:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar e . Primeiro, dividimos a segunda equação por 2:
Agora, temos:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Simplificando:

Passo 5

Com , podemos substituir esse valor na primeira equação:
Então:
Agora que temos e , podemos encontrar a constante de anharmonicidade :

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia de dissociação De = hnu4xe . A energia de dissociação está relacionada à energia necessária para separar a molécula completamente, o que pode ser aproximado usando a constante de anharmonicidade:
De = 29384 times 0,0177 approx 29380,0708 approx 41500 , cm^-1
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A constante de anharmonicidade é aproximadamente 0,0177 e a energia de dissociação da molécula de HCl é cerca de 41500 cm⁻¹.

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