Utilizando uma molécula protótipo, com simetria apropriada, demonstre o resultado das seguintes operações de simetria: e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre operações de simetria em moléculas. O conteúdo que vamos usar é a Teoria dos Grupos de Simetria. Para isso, precisamos entender as operações de simetria como rotações e reflexões que deixam a molécula inalterada.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que são as operações de simetria mencionadas:
  • : É uma rotação de 180 graus em torno de um eixo.
  • : É um plano de simetria vertical, ou seja, uma reflexão que passa pelo eixo de rotação.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa a combinação dessas operações. Quando dizemos , estamos aplicando duas rotações de 180 graus consecutivamente.

Passo 4

Aplicando :
  • A primeira rotação de 180 graus gira a molécula.
  • A segunda rotação de 180 graus gira novamente, totalizando uma rotação de 360 graus.
  • Uma rotação de 360 graus traz a molécula de volta à posição inicial, equivalente à operação identidade ( ).

Passo 5

Agora, vamos para :
  • Primeiro aplicamos a rotação de 180 graus ( ).
  • Em seguida, aplicamos a reflexão no plano vertical ( ).
  • O resultado desta combinação é uma operação de reflexão seguida de rotação, que pode ser equivalente a uma outra operação de simetria específica, dependendo da molécula.

Passo 6

Por fim, vamos analisar :
  • Aplicamos primeiro uma reflexão em um plano vertical ( ).
  • Em seguida, refletimos em um outro plano vertical ( ).
  • A combinação de duas reflexões em planos diferentes geralmente resulta em uma rotação. No caso de planos perpendiculares, pode resultar em uma rotação de 180 graus, ou .

Resposta

Após analisar as combinações, temos:
  • (operação identidade)
  • (uma nova operação de simetria que depende da molécula)

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