DÊ O NUMERO DE SOLUÇÕES DA EQUACAO Senx 4+Cosx4 = 1 , RESOLVA NO INTERVALO 0 < X< 2pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação sin^4 x + cos^4 x = 1 e precisamos descobrir quantas soluções ela tem no intervalo 0 < x < 2pi. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de trigonometria, especialmente identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar expressões com potências de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin^4 x + cos^4 x. Sabemos que sin^2 x + cos^2 x = 1, uma identidade trigonométrica básica. Vamos reescrever sin^4 x + cos^4 x usando essa identidade:
sin^4 x + cos^4 x = (sin^2 x)^2 + (cos^2 x)^2
Podemos usar a fórmula a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab:
(sin^2 x)^2 + (cos^2 x)^2 = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2sin^2 x cos^2 x
Como sin^2 x + cos^2 x = 1:
1^2 - 2sin^2 x cos^2 x = 1 - 2sin^2 x cos^2 x

Passo 3

Agora, nossa equação fica:
1 - 2sin^2 x cos^2 x = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
-2sin^2 x cos^2 x = 0
Dividindo ambos os lados por -2:
sin^2 x cos^2 x = 0

Passo 4

A equação sin^2 x cos^2 x = 0 será verdadeira quando pelo menos um dos fatores for zero:
  1. sin^2 x = 0
  2. cos^2 x = 0
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1: sin^2 x = 0
Isso implica que sin x = 0. Sabemos que o seno é zero em:
x = 0, pi, 2pi
No entanto, nosso intervalo é 0 < x < 2pi, então as soluções são:
x = pi
Caso 2: cos^2 x = 0
Isso implica que cos x = 0. O cosseno é zero em:
x = pi2, 3pi2

Passo 6

Agora, juntando todas as soluções dentro do intervalo 0 < x < 2pi:
x = pi2, pi, 3pi2
Então, temos três soluções.

Resposta

A equação sin^4 x + cos^4 x = 1 possui 3 soluções no intervalo 0 < x < 2pi.

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