Os números naturais de 0 a 10 foram distribuídos em dois conjuntos:
M=m1, m2, m3, m4, m5 e N=n1, n2, n3, n4, n5, n6
com mi+1>mi e ni+1>ni. A tabela a seguir indica algumas informações estatísticas sobre os dois conjuntos:
Média (barx) Mediana (M d) Amplitude (A A)
M 5 5 7
N 5 4,5 10
De acordo com as informações, qual o valor de m5-m1+n2+n5 ?

Passo 1

O exercício nos apresenta dois conjuntos de números naturais de 0 a 10: $ M = {m_1, m_2, m_3, m_4, m_5} $ e $ N = {n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6} $, ambos organizados em ordem crescente. Nos são dadas informações sobre a média, mediana e amplitude (diferença entre o maior e o menor valor) de cada conjunto. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ m_5 - m_1 + n_2 + n_5 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de média, mediana e amplitude, além de lógica para distribuir os números corretamente entre os conjuntos.

Passo 2

Vamos começar analisando o conjunto $ M $:
  • Média ($ \bar{x} $): A média é 5, e como há 5 elementos, a soma total dos elementos de $ M $ é $ 5 \times 5 = 25 $.
  • Mediana ($ Md $): Com 5 elementos, a mediana é o terceiro número, então $ m_3 = 5 $.
  • Amplitude ($ AA $): A diferença entre o maior e o menor número é 7, ou seja, $ m_5 - m_1 = 7 $.
Sabendo que $ m_3 = 5 $ e que $ m_5 - m_1 = 7 $, podemos considerar possíveis valores para $ m_1 $ e $ m_5 $ que atendam a essa condição e cuja soma com os outros elementos resulte em 25.
Uma combinação que funciona é:
  • $ m_1 = 1 $
  • $ m_2 = 4 $
  • $ m_3 = 5 $
  • $ m_4 = 7 $
  • $ m_5 = 8 $
Verificando:
$ 1 + 4 + 5 + 7 + 8 = 25 $ e $ 8 - 1 = 7 $. Portanto, $ M = {1, 4, 5, 7, 8} $.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto $ N $:
Sabendo que todos os números de 0 a 10 devem estar em $ M $ ou $ N $, e já usamos os números 1, 4, 5, 7 e 8 em $ M $, os números restantes para $ N $ são: 0, 2, 3, 6, 9 e 10.
Vamos verificar se essas escolhas atendem às condições dadas para $ N $:
  • Média ($ \bar{x} $): A média é 5, então a soma dos elementos de $ N $ deve ser $ 5 \times 6 = 30 $.
  • Mediana ($ Md $): Com 6 elementos, a mediana é a média entre o terceiro e o quarto número. Aqui, $ n_3 = 3 $ e $ n_4 = 6 $, então $ (3 + 6)/2 = 4,5 $, que está correto.
  • Amplitude ($ AA $): A diferença entre o maior e o menor é 10, ou seja, $ n_6 - n_1 = 10 $. Com $ n_1 = 0 $ e $ n_6 = 10 $, temos $ 10 - 0 = 10 $.
Verificando a soma:
$ 0 + 2 + 3 + 6 + 9 + 10 = 30 $. Portanto, $ N = {0, 2, 3, 6, 9, 10} $.

Passo 4

Agora que identificamos os elementos dos conjuntos $ M $ e $ N $, podemos calcular a expressão solicitada:
M

Resposta

O valor de $ m_5 - m_1 + n_2 + n_5 $ é 18.

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