Os números naturais de 0 a 10 foram distribuídos em dois conjuntos:
com
e
. A tabela a seguir indica algumas informações estatísticas sobre os dois conjuntos:
Média
|
Mediana
|
Amplitude
|
|
---|---|---|---|
|
5 | 5 | 7 |
|
5 | 4,5 | 10 |
De acordo com as informações, qual o valor de
?
Passo 1
O exercício nos apresenta dois conjuntos de números naturais de 0 a 10: $ M = {m_1, m_2, m_3, m_4, m_5} $ e $ N = {n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6} $, ambos organizados em ordem crescente. Nos são dadas informações sobre a média, mediana e amplitude (diferença entre o maior e o menor valor) de cada conjunto. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ m_5 - m_1 + n_2 + n_5 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de média, mediana e amplitude, além de lógica para distribuir os números corretamente entre os conjuntos.
Passo 2
Vamos começar analisando o conjunto $ M $:
- Média ($ \bar{x} $): A média é 5, e como há 5 elementos, a soma total dos elementos de $ M $ é $ 5 \times 5 = 25 $.
- Mediana ($ Md $): Com 5 elementos, a mediana é o terceiro número, então $ m_3 = 5 $.
- Amplitude ($ AA $): A diferença entre o maior e o menor número é 7, ou seja, $ m_5 - m_1 = 7 $.
Sabendo que $ m_3 = 5 $ e que $ m_5 - m_1 = 7 $, podemos considerar possíveis valores para $ m_1 $ e $ m_5 $ que atendam a essa condição e cuja soma com os outros elementos resulte em 25.
Uma combinação que funciona é:
- $ m_1 = 1 $
- $ m_2 = 4 $
- $ m_3 = 5 $
- $ m_4 = 7 $
- $ m_5 = 8 $
Verificando:
$ 1 + 4 + 5 + 7 + 8 = 25 $ e $ 8 - 1 = 7 $. Portanto, $ M = {1, 4, 5, 7, 8} $.
$ 1 + 4 + 5 + 7 + 8 = 25 $ e $ 8 - 1 = 7 $. Portanto, $ M = {1, 4, 5, 7, 8} $.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto $ N $:
Sabendo que todos os números de 0 a 10 devem estar em $ M $ ou $ N $, e já usamos os números 1, 4, 5, 7 e 8 em $ M $, os números restantes para $ N $ são: 0, 2, 3, 6, 9 e 10.
Vamos verificar se essas escolhas atendem às condições dadas para $ N $:
- Média ($ \bar{x} $): A média é 5, então a soma dos elementos de $ N $ deve ser $ 5 \times 6 = 30 $.
- Mediana ($ Md $): Com 6 elementos, a mediana é a média entre o terceiro e o quarto número. Aqui, $ n_3 = 3 $ e $ n_4 = 6 $, então $ (3 + 6)/2 = 4,5 $, que está correto.
- Amplitude ($ AA $): A diferença entre o maior e o menor é 10, ou seja, $ n_6 - n_1 = 10 $. Com $ n_1 = 0 $ e $ n_6 = 10 $, temos $ 10 - 0 = 10 $.
Verificando a soma:
$ 0 + 2 + 3 + 6 + 9 + 10 = 30 $. Portanto, $ N = {0, 2, 3, 6, 9, 10} $.
$ 0 + 2 + 3 + 6 + 9 + 10 = 30 $. Portanto, $ N = {0, 2, 3, 6, 9, 10} $.
Passo 4
Agora que identificamos os elementos dos conjuntos $ M $ e $ N $, podemos calcular a expressão solicitada:
Resposta
O valor de $ m_5 - m_1 + n_2 + n_5 $ é 18.