Na sequência decrescente a seguir: 2^n, 2^n-1, ldots, 2^n-4 ( n é um número natural), a mediana dos elementos dessa sequência é 8. Determine o valor de n.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência decrescente formada por potências de 2: 2^n, 2^n-1, ldots, 2^n-4, onde n é um número natural. A mediana dessa sequência é 8, e precisamos descobrir o valor de n.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos termos há na sequência. Observando de 2^n até 2^n-4, temos 5 termos: 2^n, 2^n-1, 2^n-2, 2^n-3 e 2^n-4.

Passo 3

Como a sequência tem um número ímpar de elementos (5), a mediana será o termo do meio quando os termos estiverem ordenados. Ou seja, o terceiro termo é a mediana.

Passo 4

Então, a mediana é 2^n-2, e sabemos que ela é igual a 8. Portanto, temos a seguinte equação:
2^n-2 = 8

Passo 5

Precisamos resolver essa equação para encontrar n. Sabemos que 8 = 2^3, então podemos igualar os expoentes:
2^n-2 = 2^3
Igualando os expoentes:
n - 2 = 3
Somando 2 dos dois lados:
n = 5

Resposta

O valor de n é 5.

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