O3 - (3 pontos) Um projétil é lançado obliquamente no vácuo com determinada velocidade inicial e formando um ângulo com o eixo horizontal no plano . Considerando a aceleração da gravidade local igual a g e desprezando todas as formas de dissipação de energia, encontre o ângulo de lançamento para que a área da trajetória tenha valor máximo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um projétil lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial e ângulo de lançamento em relação ao eixo horizontal . Queremos encontrar o ângulo que maximiza a área da trajetória do projétil. Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento de um projétil e entender como calcular a área sob a curva da trajetória.

Passo 2

Vamos começar determinando a equação da trajetória do projétil. Sabemos que as componentes da velocidade inicial são:
A posição do projétil em função do tempo é dada por:

Passo 3

Para encontrar a equação da trajetória em função de , podemos eliminar das equações acima. Resolvendo para :
Substituindo na equação de :

Passo 4

A área sob a trajetória é a integral de de até o alcance do projétil. Primeiro, precisamos encontrar o alcance .
O alcance é dado por:

Passo 5

Agora, vamos calcular a área :
Vamos resolver essa integral:

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Vamos simplificar:

Passo 7

Para maximizar a área , precisamos derivar em relação ao ângulo e igualar a derivada a zero:
Ao resolver essa derivada, encontraremos o valor de que maximiza a área.
Após realizar os cálculos, chegamos ao resultado de que o ângulo que maximiza a área da trajetória é:

Resposta

O ângulo de lançamento que maximiza a área da trajetória é .

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