O3 - (3 pontos) Um projétil é lançado obliquamente no vácuo com determinada velocidade inicial
e formando um ângulo
com o eixo horizontal no plano
. Considerando a aceleração da gravidade local igual a g e desprezando todas as formas de dissipação de energia, encontre o ângulo de lançamento para que a área da trajetória tenha valor máximo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um projétil lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial
e ângulo de lançamento
em relação ao eixo horizontal
. Queremos encontrar o ângulo
que maximiza a área da trajetória do projétil. Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento de um projétil e entender como calcular a área sob a curva da trajetória.
Passo 2
Vamos começar determinando a equação da trajetória do projétil. Sabemos que as componentes da velocidade inicial são:
A posição do projétil em função do tempo
é dada por:
Passo 3
Para encontrar a equação da trajetória
em função de
, podemos eliminar
das equações acima. Resolvendo
para
:
Substituindo na equação de
:
Passo 4
A área sob a trajetória é a integral de
de
até o alcance
do projétil. Primeiro, precisamos encontrar o alcance
.
O alcance
é dado por:
Passo 5
Agora, vamos calcular a área
:
Vamos resolver essa integral:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Vamos simplificar:
Passo 7
Para maximizar a área
, precisamos derivar
em relação ao ângulo
e igualar a derivada a zero:
Ao resolver essa derivada, encontraremos o valor de
que maximiza a área.
Após realizar os cálculos, chegamos ao resultado de que o ângulo que maximiza a área da trajetória é:
Resposta
O ângulo de lançamento que maximiza a área da trajetória é
.