O3 - (3 pontos) Um projétil é lançado obliquamente no vácuo com determinada velocidade inicial V0 e formando um ângulo alpha com o eixo horizontal no plano X Y. Considerando a aceleração da gravidade local igual a g e desprezando todas as formas de dissipação de energia, encontre o ângulo de lançamento para que a área da trajetória tenha valor máximo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um projétil lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial e ângulo de lançamento em relação ao eixo horizontal . Queremos encontrar o ângulo que maximiza a área da trajetória do projétil. Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento de um projétil e entender como calcular a área sob a curva da trajetória.

Passo 2

Vamos começar determinando a equação da trajetória do projétil. Sabemos que as componentes da velocidade inicial são:
V0x = V0 cos alpha
V0y = V0 sin alpha
A posição do projétil em função do tempo x(t) = V0x cdot t = V0 cos alpha cdot t é dada por:
y(t) = V0y cdot t - 12 g t^2 = V0 sin alpha cdot t - 12 g t^2

Passo 3

Para encontrar a equação da trajetória t = xV0 cos alpha em função de y(x) = V0 sin alpha cdot xV0 cos alpha - 12 g ( xV0 cos alpha )^2 , podemos eliminar y(x) = x tan alpha - g x^22 V0^2 cos^2 alpha das equações acima. Resolvendo para :
Substituindo na equação de :

Passo 4

A área sob a trajetória é a integral de R = V0^2 sin 2alphag de até o alcance do projétil. Primeiro, precisamos encontrar o alcance .
O alcance é dado por:

Passo 5

Agora, vamos calcular a área A = integral0^R y(x) , dx = integral0^R ( x tan alpha - g x^22 V0^2 cos^2 alpha ) dx :
A = integral0^R x tan alpha , dx - integral0^R g x^22 V0^2 cos^2 alpha , dx
Vamos resolver essa integral:
A = tan alpha cdot [ x^22 ]0^R - g2 V0^2 cos^2 alpha cdot [ x^33 ]0^R
A = tan alpha cdot R^22 - g R^36 V0^2 cos^2 alpha

Passo 6

Substituindo A = tan alpha cdot ( V0^2 sin 2alphag )^22 - g ( V0^2 sin 2alphag )^36 V0^2 cos^2 alpha na expressão de A = tan alpha cdot V0^4 sin^2 2alpha2 g^2 - g V0^6 sin^3 2alpha6 g^3 V0^2 cos^2 alpha :
A = V0^4 sin^2 2alpha tan alpha2 g^2 - V0^4 sin^3 2alpha6 g^2 cos^2 alpha
Vamos simplificar:

Passo 7

Para maximizar a área dAdalpha = 0 , precisamos derivar alpha = 45^circ em relação ao ângulo e igualar a derivada a zero:
Ao resolver essa derivada, encontraremos o valor de que maximiza a área.
Após realizar os cálculos, chegamos ao resultado de que o ângulo que maximiza a área da trajetória é:

Resposta

O ângulo de lançamento que maximiza a área da trajetória é .

Exercícios relacionados