Um objeto de altura H está a uma distância D de uma câmara escura de orifício, que registra uma imagem de altura igual a 5 cm. Ao aproximar o objeto 15 m da câmara, a imagem formada foi de 8 cm. Determine o valor de D.
a) 30 m
b) 25 m
c) 50 m
d) 15 m
e) 40 m

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto de altura $ H $ situado a uma distância $ D $ de uma câmara escura com orifício. Inicialmente, a imagem formada tem 5 cm de altura. Quando o objeto é aproximado 15 metros da câmara, a imagem cresce para 8 cm. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de $ D $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de semelhança de triângulos, que é fundamental na óptica para relacionar tamanhos e distâncias de objetos e suas imagens.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma câmara escura (ou câmera pinhole), a imagem formada é similar ao objeto. Isso significa que a razão entre as alturas é igual à razão entre as distâncias do objeto e da imagem. Matemáticamente, podemos expressar isso como:
Hh = Dd
Onde:
  • $ H $ é a altura do objeto,
  • $ h $ é a altura da imagem,
  • $ D $ é a distância do objeto à câmara,
  • $ d $ é a distância da câmara à tela onde a imagem é formada.

Passo 3

No primeiro cenário, temos a seguinte relação:
H5 = Dd
No segundo cenário, após o objeto ser aproximado 15 metros, a nova distância é $ D - 15 $ metros, e a imagem passa a ter 8 cm. Assim, a relação fica:
D - 15

Passo 4

Como as duas equações têm o mesmo $ H $ e $ d $, podemos igualar as duas relações:
H
Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
d

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para encontrar $ D $:
D
Multiplicando ambos os lados por $ D $:
58 = D - 15D
Subtraindo $ \frac{5}{8}D $ de ambos os lados:
D
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{8}{3} $:
58D = D - 15

Resposta

O valor de $ D $ é 40 metros. Portanto, a alternativa correta é a letra e) 40 m.

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