Um objeto de altura H está a uma distância D de uma câmara escura de orifício, que registra uma imagem de altura igual a 5 cm. Ao aproximar o objeto 15 m da câmara, a imagem formada foi de 8 cm. Determine o valor de D.
a) 30 m
b) 25 m
c) 50 m
d) 15 m
e) 40 m
a) 30 m
b) 25 m
c) 50 m
d) 15 m
e) 40 m
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto de altura $ H $ situado a uma distância $ D $ de uma câmara escura com orifício. Inicialmente, a imagem formada tem 5 cm de altura. Quando o objeto é aproximado 15 metros da câmara, a imagem cresce para 8 cm. Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de $ D $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de semelhança de triângulos, que é fundamental na óptica para relacionar tamanhos e distâncias de objetos e suas imagens.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma câmara escura (ou câmera pinhole), a imagem formada é similar ao objeto. Isso significa que a razão entre as alturas é igual à razão entre as distâncias do objeto e da imagem. Matemáticamente, podemos expressar isso como:
Onde:
- $ H $ é a altura do objeto,
- $ h $ é a altura da imagem,
- $ D $ é a distância do objeto à câmara,
- $ d $ é a distância da câmara à tela onde a imagem é formada.
Passo 3
No primeiro cenário, temos a seguinte relação:
No segundo cenário, após o objeto ser aproximado 15 metros, a nova distância é $ D - 15 $ metros, e a imagem passa a ter 8 cm. Assim, a relação fica:
Passo 4
Como as duas equações têm o mesmo $ H $ e $ d $, podemos igualar as duas relações:
Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para encontrar $ D $:
Multiplicando ambos os lados por $ D $:
Subtraindo $ \frac{5}{8}D $ de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{8}{3} $:
Resposta
O valor de $ D $ é 40 metros. Portanto, a alternativa correta é a letra e) 40 m.