A aceleração de uma partícula ao longo do eixo x é a = 5,0t, com t em segundos e a em metros por segundo ao quadrado. Em t = 2,0 s, a velocidade da partícula é +17 m/s. Qual é a velocidade da partícula em t = 4,0 s?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x, e a aceleração dela depende do tempo, dada por $ a(t) = 5,0t $ (com $ t $ em segundos e $ a $ em metros por segundo ao quadrado). Sabemos que, em $ t = 2,0 $ segundos, a velocidade da partícula é $ +17 $ m/s. A pergunta é: qual será a velocidade da partícula em $ t = 4,0 $ segundos? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração da aceleração para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que podemos encontrar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo. A fórmula geral para a velocidade, quando temos a aceleração, é:
v(t) = integral a(t) , dt + C
onde $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando as condições iniciais que a questão fornece.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso específico. A aceleração é $ a(t) = 5,0t $, então a integral fica:
a(t) = 5,0t
Integrando $ 5,0t $ em relação ao tempo, temos:
v(t) = integral 5,0t , dt + C

Passo 4

Agora, precisamos determinar a constante $ C $ usando a condição inicial fornecida: em $ t = 2,0 $ s, a velocidade $ v = +17 $ m/s. Substituindo esses valores na equação que encontramos:
C
Calculando $ 2,5 \times 4 = 10 $, então:
t = 2,0
Portanto, a equação da velocidade fica:
v = +17

Passo 5

Agora, basta substituir $ t = 4,0 $ segundos na equação da velocidade para encontrar o valor desejado:
t = 4,0

Resposta

A velocidade da partícula em $ t = 4,0 $ segundos é de 47 m/s.

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