Um objeto cujo movimento na direção está restringido, percorre uma distância com uma velocidade constante durante um tempo . Então, instantaneamente varia a sua velocidade para uma constante por um tempo , percorrendo uma distância . (a) Mostre que
(b) Sob que condições esta expressão se torna uma igualdade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto que se move na direção com duas velocidades diferentes em dois intervalos de tempo distintos. Primeiro, ele percorre uma distância com velocidade constante durante um tempo . Depois, muda instantaneamente para uma velocidade constante e percorre uma distância no tempo .
Vamos precisar usar conceitos de velocidade média e as relações básicas de movimento retilíneo uniforme. Vamos resolver as partes (a) e (b) do exercício passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte está pedindo:
  • Parte (a): Mostrar que
    Basicamente, precisamos provar que essa expressão é verdadeira usando as informações dadas.

Passo 3

Vamos começar calculando a velocidade média do objeto em todo o trajeto. A velocidade média ( é) é a distância total percorrida dividida pelo tempo total gasto:
é
No entanto, o exercício nos pede para comparar duas médias ponderadas diferentes das velocidades e tempos.

Passo 4

Para provar a desigualdade, vamos considerar a expressão dada:
Vamos analisar os dois lados da inequação separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos interpretar o numerador e denominador de cada fração:
  • No lado esquerdo:
    • Numerador:
    • Denominador:
  • No lado direito:
    • Numerador:
    • Denominador:
Queremos mostrar que a média ponderada das velocidades pelas distâncias é maior ou igual à média ponderada das velocidades pelos tempos.

Passo 6

Vamos usar as relações básicas de movimento para expressar e em termos de velocidade e tempo:
Substituindo essas relações na expressão original:
Simplificando o numerador do lado esquerdo:

Passo 7

Agora, para simplificar a análise, vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade pelo denominador de cada lado (assumindo que são positivos, o que faz sentido nesse contexto):
Expandindo ambos os lados:
  • Lado esquerdo:
    Simplificando:
  • Lado direito:

Passo 8

Comparando os dois lados:
Podemos cancelar termos iguais dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por (positivo), obtemos:

Passo 9

A última desigualdade que obtivemos é uma forma conhecida da desigualdade de Cauchy-Schwarz ou uma reescrita da desigualdade , que sempre é verdadeira, já que o quadrado de qualquer número real é não negativo.
Portanto, a desigualdade inicial é válida.

Passo 10

Agora, vamos para a parte (b): Sob que condições essa expressão se torna uma igualdade?
Voltando à última etapa onde temos:
Isso acontece quando:
A única solução para essa equação é:

Resposta

A desigualdade se torna uma igualdade quando as velocidades e são iguais, ou seja, .

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