Um radar detecta um míssil se aproximando desde o leste. No primeiro contato, a distância do míssil é 12.000 pés a sobre o horizonte. O míssil é seguido e, no contato final, ele está a 25.800 pés a no plano leste-oeste. Determine o deslocamento do míssil durante o período de contato do radar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um radar que detectou um míssil se aproximando. No primeiro momento, o radar registrou que o míssil estava a 12.000 pés de distância, num ângulo de acima do horizonte. Depois, no último contato, a distância aumentou para 25.800 pés, e o ângulo no plano leste-oeste era de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi o deslocamento do míssil durante esse período de contato com o radar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e vetores. Precisamos converter essas informações polares (distância e ângulo) em coordenadas cartesianas (x e y) para facilitar o cálculo do deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as posições inicial e final do míssil de coordenadas polares para cartesianas. Nas coordenadas polares, uma posição é dada por uma distância e um ângulo . Nas coordenadas cartesianas, a mesma posição é representada por , onde:
Vamos calcular isso para as duas posições.

Passo 3

Começando pela posição inicial:
  • Distância pés
  • Ângulo acima do horizonte
Assumindo que o horizonte é o eixo x e o ângulo é medido a partir dele, podemos calcular:
Vamos calcular esses valores numéricos:
é
é

Passo 4

Agora, para a posição final:
  • Distância pés
  • Ângulo no plano leste-oeste
Usando as mesmas fórmulas:
Calculando os valores:
é
é

Passo 5

Agora que temos as coordenadas cartesianas das duas posições, podemos determinar o deslocamento do míssil. O deslocamento é simplesmente a diferença entre a posição final e a inicial:
é
é

Passo 6

Para encontrar a magnitude do deslocamento, usamos o teorema de Pitágoras:
Calculando:
é

Resposta

O deslocamento do míssil durante o período de contato com o radar foi de aproximadamente 27,07 pés na direção representada pelas componentes calculadas.

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