Um radar detecta um míssil se aproximando desde o leste. No primeiro contato, a distância do míssil é 12.000 pés a 40,0^circ sobre o horizonte. O míssil é seguido e, no contato final, ele está a 25.800 pés a 123^circ no plano leste-oeste. Determine o deslocamento do míssil durante o período de contato do radar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um radar que detectou um míssil se aproximando. No primeiro momento, o radar registrou que o míssil estava a 12.000 pés de distância, num ângulo de 40,0^circ acima do horizonte. Depois, no último contato, a distância aumentou para 25.800 pés, e o ângulo no plano leste-oeste era de 123^circ. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi o deslocamento do míssil durante esse período de contato com o radar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e vetores. Precisamos converter essas informações polares (distância e ângulo) em coordenadas cartesianas (x e y) para facilitar o cálculo do deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as posições inicial e final do míssil de coordenadas polares para cartesianas. Nas coordenadas polares, uma posição é dada por uma distância r e um ângulo theta. Nas coordenadas cartesianas, a mesma posição é representada por (x, y), onde:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)
Vamos calcular isso para as duas posições.

Passo 3

Começando pela posição inicial:
  • Distância r1 = 12.000 pés
  • Ângulo theta1 = 40,0^circ acima do horizonte
Assumindo que o horizonte é o eixo x e o ângulo é medido a partir dele, podemos calcular:
x1 = r1 cdot cos(theta1) = 12.000 cdot cos(40^circ)
y1 = r1 cdot sin(theta1) = 12.000 cdot sin(40^circ)
Vamos calcular esses valores numéricos:
x1 approx 12.000 cdot 0,7660 approx 9.192 pés é
y1 approx 12.000 cdot 0,6428 approx 7.714 pés é

Passo 4

Agora, para a posição final:
  • Distância r2 = 25.800 pés
  • Ângulo theta2 = 123^circ no plano leste-oeste
Usando as mesmas fórmulas:
x2 = r2 cdot cos(theta2) = 25.800 cdot cos(123^circ)
y2 = r2 cdot sin(theta2) = 25.800 cdot sin(123^circ)
Calculando os valores:
x2 approx 25.800 cdot (-0,5446) approx -14.046 pés é
y2 approx 25.800 cdot 0,8387 approx 21.650 pés é

Passo 5

Agora que temos as coordenadas cartesianas das duas posições, podemos determinar o deslocamento do míssil. O deslocamento é simplesmente a diferença entre a posição final e a inicial:
Deé
Deé

Passo 6

Para encontrar a magnitude do deslocamento, usamos o teorema de Pitágoras:
|De
Calculando:
|Deé

Resposta

O deslocamento do míssil durante o período de contato com o radar foi de aproximadamente 27,07 pés na direção representada pelas componentes calculadas.

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