Um objeto de massa m constante inicia um movimento no instante t = 0s a partir do repouso quando está na posição x(0) = 5m. O movimento é retilíneo e uniformemente variado (MRUV). No instante t = 2s, sua velocidade vale v(2) = 16 m/s, e no instante t = 5s, sua velocity vale v(5) = 40 m/s. Determine o valor da posição do objeto no instante t = 3s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um objeto que começa a se mover a partir do repouso em uma posição inicial de 5 metros. O movimento é retilíneo e com aceleração constante, ou seja, um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Precisamos descobrir onde o objeto está após 3 segundos, dado que a velocidade dele em 2 segundos é 16 m/s e em 5 segundos é 40 m/s.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no MRUV, a velocidade do objeto muda de forma constante ao longo do tempo. A fórmula para a velocidade em função do tempo é:
v(t) = v0 + a cdot t
Onde:
- $ v(t) $ é a velocidade no tempo $ t $
- $ v_0 $ é a velocidade inicial
- $ a $ é a aceleração
Como o objeto parte do repouso, $ v_0 = 0 $.

Passo 3

Vamos usar as informações dadas para encontrar a aceleração. Sabemos que:
v(2) = 16 , m/s
Usando a fórmula da velocidade:
16 = 0 + a cdot 2
a = 162
a = 8 , m/s^2

Passo 4

Para verificar se está correto, vamos usar o segundo ponto dado:
v(5) = 40 , m/s
Usando novamente a fórmula:
40 = 0 + 8 cdot 5
40 = 40
Confere certinho!

Passo 5

Agora que sabemos a aceleração, vamos encontrar a posição em 3 segundos. A fórmula da posição no MRUV é:
x(t) = x0 + v0 cdot t + 12 cdot a cdot t^2
Onde:
- $ x(t) $ é a posição no tempo $ t $
- $ x_0 $ é a posição inicial
- $ v_0 $ é a velocidade inicial
- $ a $ é a aceleração

Passo 6

Substituindo os valores que conhecemos:
x(3) = 5 + 0 cdot 3 + 12 cdot 8 cdot 3^2
x(3) = 5 + 0 + 12 cdot 8 cdot 9
x(3) = 5 + 0 + 36
x(3) = 41 , m

Resposta

A posição do objeto no instante $ t = 3 $ segundos é de 41 metros.

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