Um objeto de massa
está inicialmente em repouso, em
segundos na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Este objeto é submetido a uma força dada por
, onde
e
são constantes. Determine a velocidade
do objeto em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Aqui a gente tem um objeto com massa $ m $ que está parado na origem de um sistema de coordenadas no tempo $ t = 0 $. Depois disso, ele passa a sofrer uma força que varia com o tempo e a posição, dada por $ \vec{F} = k_{1} l + k_{2} t^{2} , \vec{j} $, onde $ k_{1} $ e $ k_{2} $ são constantes. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade $ \vec{v}(t) $ desse objeto em qualquer instante de tempo $ t $.
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton, especificamente a segunda lei que relaciona força, massa e aceleração. Também vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade, levando em conta as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está agindo sobre o objeto. A força $ \vec{F} = k_{1} l + k_{2} t^{2} , \vec{j} $ está dividida em duas componentes:
- $ k_{1} l $: Essa parece ser uma força constante na direção $ \vec{i} $ (eixo x), já que $ l $ provavelmente representa uma distância fixa ou deslocamento nessa direção.
- $ k_{2} t^{2} , \vec{j} $: Essa força varia com o quadrado do tempo na direção $ \vec{j} $ (eixo y).
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ \vec{F} $ é igual à massa $ m $ vezes a aceleração $ \vec{a} $:
Como queremos a velocidade, precisamos encontrar a aceleração e depois integrar em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos separar as componentes da força:
-
Na direção $ x $:Como $ F_x = m a_x $, podemos encontrar a aceleração na direção $ x $:
-
Na direção $ y $:Similarmente, a aceleração na direção $ y $ é:
Passo 5
Agora que temos as acelerações $ a_x $ e $ a_y $, podemos encontrar as velocidades integrando as acelerações em relação ao tempo.
Para a direção $ x $:
Para a direção $ y $:
Passo 6
Precisamos determinar as constantes de integração $ C_x $ e $ C_y $ usando as condições iniciais. Sabemos que, no tempo $ t = 0
\vec{v}(0) = 0 $).
- Para $ v_x(0) $:
- Para $ v_y(0) $:
Passo 7
Com as constantes de integração determinadas, podemos escrever as expressões finais para as componentes da velocidade:
Resposta
A velocidade do objeto em função do tempo é: