Um objeto de massa m está inicialmente em repouso, em t=0 segundos na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Este objeto é submetido a uma força dada por F=k1 l+k2 t^2 j, onde k1 e k2 são constantes. Determine a velocidade v(t) do objeto em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Aqui a gente tem um objeto com massa $ m $ que está parado na origem de um sistema de coordenadas no tempo $ t = 0 $. Depois disso, ele passa a sofrer uma força que varia com o tempo e a posição, dada por $ \vec{F} = k_{1} l + k_{2} t^{2} , \vec{j} $, onde $ k_{1} $ e $ k_{2} $ são constantes. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade $ \vec{v}(t) $ desse objeto em qualquer instante de tempo $ t $.
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de Newton, especificamente a segunda lei que relaciona força, massa e aceleração. Também vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade, levando em conta as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está agindo sobre o objeto. A força $ \vec{F} = k_{1} l + k_{2} t^{2} , \vec{j} $ está dividida em duas componentes:
  1. $ k_{1} l $: Essa parece ser uma força constante na direção $ \vec{i} $ (eixo x), já que $ l $ provavelmente representa uma distância fixa ou deslocamento nessa direção.
  2. $ k_{2} t^{2} , \vec{j} $: Essa força varia com o quadrado do tempo na direção $ \vec{j} $ (eixo y).

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante $ \vec{F} $ é igual à massa $ m $ vezes a aceleração $ \vec{a} $:
F
Como queremos a velocidade, precisamos encontrar a aceleração e depois integrar em relação ao tempo.

Passo 4

Vamos separar as componentes da força:
  • Na direção $ x $:
    x
    Como $ F_x = m a_x $, podemos encontrar a aceleração na direção $ x $:
    Fx = k1 l
  • Na direção $ y $:
    Fx = m ax
    Similarmente, a aceleração na direção $ y $ é:
    x

Passo 5

Agora que temos as acelerações $ a_x $ e $ a_y $, podemos encontrar as velocidades integrando as acelerações em relação ao tempo.
Para a direção $ x $:
ax
Para a direção $ y $:
ay

Passo 6

Precisamos determinar as constantes de integração $ C_x $ e $ C_y $ usando as condições iniciais. Sabemos que, no tempo $ t = 0 Cx é \vec{v}(0) = 0 $).
  • Para $ v_x(0) $:
Cy
  • Para $ v_y(0) $:
t = 0

Passo 7

Com as constantes de integração determinadas, podemos escrever as expressões finais para as componentes da velocidade:
vx(t) = k1 lm t
vy(t) = k23m t^3

Resposta

A velocidade do objeto em função do tempo é:
v(t) = ( k1 lm , t ) , i + ( k23m , t^3 ) , j

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