Um objeto de massa m é suspenso por uma corda leve em torno de uma roldana que tem momento de inérica I e raio R. A sustentação da roldana é feita sem atrito, e a corda não escorrega na superfície da peça. Encontre a tração na corda e a aceleração do objeto (Veja Figura 2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos um objeto com massa m pendurado por uma corda em uma roldana com momento de inércia I e raio R. A roldana está apoiada sem atrito e a corda não escorrega. Nosso objetivo é encontrar a tração na corda ( T) e a aceleração do objeto ( a). Para resolver isso, vamos usar as Leis de Newton para movimento linear e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no objeto. Há duas forças principais:
  1. O peso do objeto, que é mg (onde g é a aceleração da gravidade).
  2. A tração da corda, T, que puxa o objeto para cima.
Aplicando a Segunda Lei de Newton para movimento linear:
mg - T = ma
Onde:
  • mg é a força para baixo,
  • T é a força para cima,
  • a é a aceleração do objeto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a roldana. Como ela está girando sem atrito, podemos aplicar a Segunda Lei de Newton para rotação. A força que causa torque na roldana é a tração da corda T, e o torque ( tau) é dado por:
tau = T cdot R
Segundo a Segunda Lei para rotações:
tau = I cdot alpha
Onde:
  • I é o momento de inércia da roldana,
  • alpha é a aceleração angular.

Passo 4

Sabemos que a aceleração linear a e a aceleração angular alpha estão relacionadas pela equação:
a = alpha cdot R
Portanto, podemos substituir alpha na equação do torque:
T cdot R = I cdot aR
T = I cdot aR^2

Passo 5

Agora temos duas equações:
  1. mg - I cdot aR^2 = ma
  2. mg = a ( m + IR^2 )
Vamos substituir a segunda na primeira:
a = mgm + IR^2

Resposta

A aceleração do objeto é:
a = mgm + IR^2
E a tração na corda é:
T = I cdot mgR^2 ( m + IR^2 )

Exercícios relacionados