Um objeto movimenta-se sobre o eixo x com a posição como uma função do tempo, descrita por x=x(t). O ponto O está em x=0. O objeto está se movendo na direção de O quando
a) d x / d t<0.
b) d x / d t>0.
c) d(x^2) / d t<0.
d) d(x^2) / d t>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto que se move ao longo do eixo , com a posição dependendo do tempo . A gente quer descobrir em que condições o objeto está se movendo na direção do ponto (que está em ). Para isso, vamos precisar lembrar sobre derivadas, que nos dizem a velocidade do objeto, e entender como isso se relaciona com o movimento em direção a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa. Essa é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, é a velocidade do objeto. Se , o objeto está se movendo na direção positiva do eixo . Se , está se movendo na direção negativa, ou seja, em direção a .

Passo 3

Agora, vamos analisar as opções:
a)
Como vimos, quando é negativo, o objeto está se movendo em direção a . Então, essa opção está correta.
b)
Aqui, a velocidade é positiva, o que significa que o objeto está se afastando de . Então, essa opção está errada para o que queremos.

Passo 4

Vamos para as opções c) e d). Aqui, a gente tem d(x^2)dt = 2x cdot dxdt . Vamos calcular isso usando a regra da cadeia:
Então, o sinal de depende de e de .
c)
Isso significa que . Para que isso aconteça, e devem ter sinais opostos. Ou seja, se , então , e se , então . Mas isso não necessariamente indica movimento em direção a , depende da posição .
d)
Aqui, . Isso ocorre quando e têm o mesmo sinal. Se e , ou e . Novamente, isso não indica claramente movimento em direção a , pois depende da posição.

Resposta

A opção correta é a) .

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