Um objeto movimenta-se sobre o eixo
com a posição como uma função do tempo, descrita por
. O ponto O está em
. O objeto está se movendo na direção de O quando
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um objeto que se move ao longo do eixo
, com a posição
dependendo do tempo
. A gente quer descobrir em que condições o objeto está se movendo na direção do ponto
(que está em
). Para isso, vamos precisar lembrar sobre derivadas, que nos dizem a velocidade do objeto, e entender como isso se relaciona com o movimento em direção a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
representa. Essa é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, é a velocidade do objeto. Se
, o objeto está se movendo na direção positiva do eixo
. Se
, está se movendo na direção negativa, ou seja, em direção a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as opções:
a)
Como vimos, quando
é negativo, o objeto está se movendo em direção a
. Então, essa opção está correta.
b)
Aqui, a velocidade é positiva, o que significa que o objeto está se afastando de
. Então, essa opção está errada para o que queremos.
Passo 4
Vamos para as opções c) e d). Aqui, a gente tem
. Vamos calcular isso usando a regra da cadeia:
Então, o sinal de
depende de
e de
.
c)
Isso significa que
. Para que isso aconteça,
e
devem ter sinais opostos. Ou seja, se
, então
, e se
, então
. Mas isso não necessariamente indica movimento em direção a
, depende da posição
.
d)
Aqui,
. Isso ocorre quando
e
têm o mesmo sinal. Se
e
, ou
e
. Novamente, isso não indica claramente movimento em direção a
, pois depende da posição.
Resposta
A opção correta é a)
.