Um objeto de peso 20 N está suspenso por uma mola vertical esticada inicialmente de 15 cm . Determine a posição do objeto em um tempo t, tal que inicialmente ela é puxada de 5 cm e depois liberada. Encontre a amplitude, período e frequência do movimento.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto com peso de 20,N pendurado em uma mola que, inicialmente, está esticada por 15,cm. O problema nos pede para determinar a posição do objeto em um tempo t, sabendo que ele é puxado 5,cm e depois liberado. Além disso, precisamos encontrar a amplitude, o período e a frequência desse movimento.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS), que descreve movimentos oscilatórios como o de uma mola. Vamos precisar das fórmulas que relacionam a posição, amplitude, período e frequência nesse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa do objeto. Sabemos que o peso ( P) é dado por P = m cdot g, onde g é a aceleração da gravidade ( 9,8,m/s²²). Rearranjando a fórmula para encontrar m, temos:
m = Pg = 20,N9,8,m/s² approx 2,04,kg ²

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a constante elástica da mola ( k). Sabemos que a mola está esticada inicialmente por 15,cm ( 0,15,m) sob o peso do objeto. A relação entre a força e a deformação da mola é dada por Hooke:
P = k cdot x
Rearranjando para encontrar k:
k = Px = 20,N0,15,m approx 133,33,N/m

Passo 4

Com a constante elástica, podemos encontrar a frequência angular ( omega) do movimento usando a fórmula:
omega = raizkm = raiz133,33,N/m2,04,kg approx raiz65,35,s^-2 approx 8,08,rad/s

Passo 5

A amplitude ( A) é a máxima distância a partir da posição de equilíbrio que o objeto atinge. No enunciado, o objeto é puxado 5,cm ( 0,05,m) e depois liberado, então a amplitude é:
A = 0,05,m

Passo 6

O período ( T) do movimento é o tempo que leva para uma oscilação completa. Ele está relacionado com a frequência angular pela fórmula:
T = 2piomega = 2pi8,08,rad/s approx 0,778,s

Passo 7

A frequência ( f) é o número de oscilações por segundo e está relacionada com o período pela fórmula:
f = 1T approx 10,778,s approx 1,287,Hz

Passo 8

Por fim, a posição do objeto em função do tempo ( x(t)) no Movimento Harmônico Simples é dada por:
x(t) = A cdot cos(omega t)
Substituindo os valores que encontramos:
x(t) = 0,05,m cdot cos(8,08,rad/s cdot t)

Resposta

A posição do objeto em função do tempo é x(t) = 0,05,m cdot cos(8,08,rad/s cdot t). A amplitude do movimento é 0,05,m, o período é aproximadamente 0,778,s e a frequência é cerca de 1,287,Hz.

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