OBS: Este problema exibe simetria translacional no eixo , dessa forma, potencial é do tipo . Logo,
Condições de contorno:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está nos pedindo é resolver uma equação de Laplace para o potencial elétrico que depende das coordenadas e . A equação que temos é:
Isso nos diz que estamos lidando com um problema de equação de Laplace em duas dimensões. Para resolver, precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas:
Vamos resolver passo a passo usando o método da separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Essa é a ideia central do método de separação de variáveis, onde buscamos separar as variáveis para facilitar a resolução da equação diferencial.
Passo 3
Substituindo na equação de Laplace:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, conseguimos separar as variáveis e .
Passo 4
Como os termos dependem de variáveis diferentes, cada uma deve ser igual a uma constante negativa para que a soma seja zero:
Onde é uma constante de separação.
Passo 5
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Para :
A solução geral dessa equação é:
Para :
A solução geral dessa equação é:
Passo 6
Aplicando as condições de contorno e :
Para :
E para :
Isso implica que as soluções para devem ser funções que anulam nos limites e , levando-nos a uma relação para .
Passo 7
Para que e , a função deve ser senoidal. Assim, descartamos as soluções exponenciais e assumimos que:
Onde é um número inteiro positivo, garantindo que e .
Correspondentemente, .
Passo 8
Agora, substituímos na solução para :
Portanto, a solução geral para é:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições de contorno e :
Para :
Para :
Simplificando:
Observamos que ambas condições levam à mesma equação, implicando que para satisfazer ambas simultaneamente.
Passo 10
Com , a solução simplifica para:
Agora, aplicamos novamente a condição :
Para que isso seja válido para todo , escolhemos (primeiro modo não trivial) e determinamos :
Então,
Resposta
Finalmente, a solução para o potencial que satisfaz todas as condições de contorno é: