OBS: Este problema exibe simetria translacional no eixo z, dessa forma, potencial é do tipo V=V(x, y). Logo,
(partial^2partial x^2+partial^2partial y^2) V(x, y)=0

Condições de contorno:

V(x, y) Rightarrowl V(x, 0)=0 V(x, a)=0 V(b, y)=V0 V(-b, y)=V0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está nos pedindo é resolver uma equação de Laplace para o potencial elétrico (partial^2partial x^2+partial^2partial y^2) V(x, y)=0 que depende das coordenadas V(x, 0)=0, V(x, a)=0, V(b, y)=V0, V(-b, y)=V0 e . A equação que temos é:
Isso nos diz que estamos lidando com um problema de equação de Laplace em duas dimensões. Para resolver, precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas:
Vamos resolver passo a passo usando o método da separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução V(x, y) = X(x) Y(y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Essa é a ideia central do método de separação de variáveis, onde buscamos separar as variáveis para facilitar a resolução da equação diferencial.

Passo 3

Substituindo d^2Xdx^2 Y + X d^2Ydy^2 = 0 na equação de Laplace:
1X d^2Xdx^2 + 1Y d^2Ydy^2 = 0
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, conseguimos separar as variáveis e .

Passo 4

Como os termos dependem de variáveis diferentes, cada uma deve ser igual a uma constante negativa para que a soma seja zero:
1X d^2Xdx^2 = -k^2 e 1Y d^2Ydy^2 = k^2
Onde é uma constante de separação.

Passo 5

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para d^2Xdx^2 + k^2 X = 0 :
    X(x) = A cos(kx) + B sin(kx)
    A solução geral dessa equação é:
    d^2Ydy^2 - k^2 Y = 0
  2. Para Y(y) = C e^ky + D e^-ky :
    A solução geral dessa equação é:

Passo 6

Aplicando as condições de contorno V(x, 0) = X(x) Y(0) = 0 implies Y(0) = 0 e V(x, a) = X(x) Y(a) = 0 implies Y(a) = 0 :
Para :
E para :
Isso implica que as soluções para devem ser funções que anulam nos limites e , levando-nos a uma relação para .

Passo 7

Para que Y(y) = D sin(npi ya) e , a função deve ser senoidal. Assim, descartamos as soluções exponenciais e assumimos que:
Onde é um número inteiro positivo, garantindo que e .
Correspondentemente, .

Passo 8

Agora, substituímos X(x) = A cos(npi xa) + B sin(npi xa) na solução para V(x, y) = [A cos(npi xa) + B sin(npi xa)] sin(npi ya) :
Portanto, a solução geral para é:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições de contorno V(b, y) = [A cos(npi ba) + B sin(npi ba)] sin(npi ya) = V0 e V(-b, y) = [A cos(-npi ba) + B sin(-npi ba)] sin(npi ya) = V0 :
Para V(b, y) = [A cos(npi ba) - B sin(npi ba)] sin(npi ya) = V0 :
V(-b, y) = [A cos(npi ba) - B sin(npi ba)] sin(npi ya) = V0
Para :
Simplificando:
Observamos que ambas condições levam à mesma equação, implicando que para satisfazer ambas simultaneamente.

Passo 10

Com V(x, y) = A cos(npi xa) sin(npi ya) , a solução simplifica para:
A cos(npi ba) sin(npi ya) = V0
Agora, aplicamos novamente a condição A cos(pi ba) = V0 :
A = V0cos(pi ba)
Para que isso seja válido para todo , escolhemos (primeiro modo não trivial) e determinamos :
Então,

Resposta

Finalmente, a solução para o potencial V(x, y) = V0cos(pi ba) cos(pi xa) sin(pi ya) que satisfaz todas as condições de contorno é:

Exercícios relacionados