OBS: Este problema exibe simetria translacional no eixo , dessa forma, potencial é do tipo . Logo,

Condições de contorno:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a equação de Laplace em duas dimensões, que descreve como o potencial elétrico se comporta em um espaço com simetria translacional no eixo . A equação é:
Além disso, temos algumas condições de contorno que o potencial precisa satisfazer:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais parciais. A ideia é assumir que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, cada uma dependendo de apenas uma das varições:
Substituindo isso na equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Como o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de , cada parte deve ser igual a uma constante negativa, chamada de constante de separação, que vamos chamar de .
Então, temos duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções exponenciais. Porém, considerando as condições de contorno e , faz sentido que seja uma função que se anula nesses pontos.
Portanto, as soluções apropriadas são funções seno de forma:
Onde é um número inteiro positivo. Isso garante que .
Com isso, a constante de separação fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para :
Essa é uma equação diferencial homogênea com soluções exponenciais. Dada a condição , queremos que não cresça à medida que aumenta. Portanto, a solução que satisfaz isso é:

Passo 5

Com as soluções de e , podemos escrever a solução geral para como uma soma de todas essas soluções:
Onde são coeficientes que ainda precisamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

Agora, vamos usar a condição de contorno para encontrar os coeficientes . Substituindo na solução geral:
Isso significa que precisamos expandir a função em uma série de Fourier senoidal no intervalo .
Os coeficientes são dados por:

Passo 7

Vamos calcular a integral para :
Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Avaliando os limites e resolvendo a integral, obtemos:

Passo 8

Observando que é zero para par e 2 para ímpar, podemos simplificar :
í
Portanto, a solução final envolve apenas termos ímpares na série.

Resposta

A solução para o potencial que satisfaz a equação de Laplace com as condições de contorno dadas é:
Onde é um número inteiro não negativo, representando os termos ímpares necessários para a série de Fourier.

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OBS: Este problema exibe simetria translacional no eixo , dessa forma, potencial é do tipo . Logo,

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