OBS: Este problema exibe simetria translacional no eixo , dessa forma, potencial é do tipo . Logo,
Condições de contorno:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a equação de Laplace em duas dimensões, que descreve como o potencial elétrico (partial^2partial x^2+partial^2partial y^2) V(x, y) = 0 se comporta em um espaço com simetria translacional no eixo V(x, 0) = 0 V(x, a) = 0 V(0, y) = y limx infty V(x, y) = 0 . A equação é:
Além disso, temos algumas condições de contorno que o potencial precisa satisfazer:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais parciais. A ideia é assumir que a solução V(x, y) = X(x) cdot Y(y) pode ser escrita como um produto de duas funções, cada uma dependendo de apenas uma das varições:
d^2Xdx^2 cdot Y + X cdot d^2Ydy^2 = 0
Substituindo isso na equação de Laplace, temos:
1X d^2Xdx^2 + 1Y d^2Ydy^2 = 0
Dividindo ambos os lados por d^2Xdx^2 + lambda X = 0 , ficamos com:
d^2Ydy^2 - lambda Y = 0
Como o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de , cada parte deve ser igual a uma constante negativa, chamada de constante de separação, que vamos chamar de .
Então, temos duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para d^2Ydy^2 - lambda Y = 0 :
Yn(y) = sin(npi ya)
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções exponenciais. Porém, considerando as condições de contorno lambdan = (npia)^2 e , faz sentido que seja uma função que se anula nesses pontos.
Portanto, as soluções apropriadas são funções seno de forma:
Onde é um número inteiro positivo. Isso garante que .
Com isso, a constante de separação fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para d^2Xdx^2 + (npia)^2 X = 0 :
Xn(x) = e^-npi xa
Essa é uma equação diferencial homogênea com soluções exponenciais. Dada a condição , queremos que não cresça à medida que aumenta. Portanto, a solução que satisfaz isso é:
Passo 5
Com as soluções de V(x, y) = sumn=1^infty Bn sin(npi ya) e^-npi xa e , podemos escrever a solução geral para como uma soma de todas essas soluções:
Onde são coeficientes que ainda precisamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 6
Agora, vamos usar a condição de contorno V(0, y) = sumn=1^infty Bn sin(npi ya) = y para encontrar os coeficientes Bn = 2a integral0^a y sin(npi ya) dy . Substituindo na solução geral:
Isso significa que precisamos expandir a função em uma série de Fourier senoidal no intervalo .
Os coeficientes são dados por:
Passo 7
Vamos calcular a integral para Bn = 2a integral0^a y sin(npi ya) dy :
Bn = 2a [ -a ynpi cos(npi ya) g|0^a + anpi integral0^a cos(npi ya) dy ]
Usando integração por partes, onde:
Bn = 2npi [ -a cos(npi) + a ] = 2anpi (1 - (-1)^n)
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Avaliando os limites e resolvendo a integral, obtemos:
Passo 8
Observando que Bn = 4anpi & se n ímpar 0 & se n par é zero para par e 2 para ímpar, podemos simplificar :
í
Portanto, a solução final envolve apenas termos ímpares na série.
Resposta
A solução para o potencial V(x, y) = sumk=0^infty 4a(2k+1)pi sin((2k+1)pi ya) e^-(2k+1)pi xa que satisfaz a equação de Laplace com as condições de contorno dadas é:
Onde é um número inteiro não negativo, representando os termos ímpares necessários para a série de Fourier.