Observa-se num sistema oscilatório com amortecimento, que, após 3 segundos, sua amplitude é 25 % do valor inicial. O período de oscilação é de 10s.
Qual o coeficiente de amortecimento gamma?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um sistema oscilatório com amortecimento, ou seja, um sistema que oscila, mas cuja amplitude diminui ao longo do tempo. Após 3 segundos, a amplitude desse sistema é 25% do valor inicial. Além disso, o período de oscilação é de 10 segundos. Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de amortecimento exponencial e função exponencial decrescente.

Passo 2

Em sistemas oscilatórios com amortecimento, a amplitude A(t) = A0 e^-gamma t em função do tempo é dada pela fórmula:
onde:
  • é a amplitude inicial,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é o tempo,
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Segundo o enunciado, após 3 segundos, a amplitude é 25% do valor inicial. Podemos expressar isso como:
A(3)A0 = 0,25
Substituindo na fórmula da amplitude:
0,25 = e^-gamma cdot 3

Passo 4

Para encontrar ln(0,25) = -gamma cdot 3 , precisamos resolver a equação acima. Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Lembrando que .

Passo 5

Isolando gamma = -ln(0,25)3 , temos:
ln(0,25) = ln(14) = -ln(4)
Calculando o valor numérico:
gamma = ln(4)3
Portanto:

Resposta

O coeficiente de amortecimento é s .

Exercícios relacionados