Observando somente os elementos dos conjuntos abaixo, explicar por que estes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
a. v1=(-1,2,4) e v2=(5,-10,-20);
b. p1(t)=3-2 t+t^2 p2(t)=6-4 t+2 t^2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de vetores e polinômios, e precisamos explicar por que cada um deles é linearmente dependente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a definição de dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser linearmente dependente. Basicamente, isso acontece quando pelo menos um vetor (ou polinômio) no conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos simples, se conseguimos multiplicar um vetor por um número para obter o outro, eles são dependentes.

Passo 3

Parte a: Temos os vetores v1=(-1,2,4) e v2=(5,-10,-20). Vamos verificar se um é múltiplo do outro.
Observando cada componente:
  • 5 = -1 times (-5)
  • -10 = 2 times (-5)
  • -20 = 4 times (-5)
Isso mostra que v2 é igual a -5 vezes v1.

Passo 4

Como v2 = -5 cdot v1, isso significa que os vetores são múltiplos um do outro. Portanto, eles são linearmente dependentes porque um pode ser obtido a partir do outro através de uma multiplicação por escalar.

Passo 5

Parte b: Agora, consideramos os polinômios p1(t)=3-2 t+t^2 e p2(t)=6-4 t +2 t^2. Vamos verificar se um é múltiplo do outro.
Observando cada termo:
  • 6 = 3 times 2
  • -4 t = (-2 t) times 2
  • 2 t^2 = t^2 times 2
Isso mostra que p2(t) é igual a 2 vezes p1(t).

Passo 6

Como p2(t) = 2 cdot p1(t), isso significa que os polinômios são múltiplos um do outro. Portanto, eles são linearmente dependentes porque um pode ser obtido a partir do outro através de uma multiplicação por escalar.

Resposta

a. Os vetores v1=(-1,2,4) e v2=(5,-10,-20) são linearmente dependentes porque v2 é igual a -5 vezes v1.
b. Os polinômios p1(t)=3-2 t+t^2 e p2(t)=6-4 t +2 t^2 são linearmente dependentes porque p2(t) é igual a 2 vezes p1(t).

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