Sejam e e Algum desses subconjuntos é subespaço de V?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se os conjuntos e são subespaços do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes . Para fazer isso, vai precisar entender os critérios que definem um subespaço e aplicar esses critérios a cada um dos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, a matriz nula deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Agora, vamos verificar essas condições para e separadamente.

Passo 3

Analisando :
  1. Contém o vetor zero?
    Sim, a matriz nula tem determinante zero, então .
  2. Fechado sob adição?
    Aqui a gente tem um problema. Se pegarmos duas matrizes com determinante zero, a soma delas nem sempre terá determinante zero. Por exemplo:
    Ambas têm determinante zero, mas:
    O determinante de é , que é diferente de zero. Então, .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    Sim, se tem determinante zero, então qualquer múltiplo escalar de também terá determinante zero.
Conclusão para :
Não é um subespaço porque não é fechado sob adição.

Passo 4

Analisando :
  1. Contém o vetor zero?
    Vamos verificar se :
    Então, sim, .
  2. Fechado sob adição?
    Vamos testar com duas matrizes em . Por exemplo:
    Ambas satisfazem e , mas:
    Verificando:
    Até aqui parece que funciona, mas vamos tentar outra combinação:

    Verificando:
    Então, nem sempre a soma de duas matrizes em está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    Vamos ver com um escalar e uma matriz em :
    Verificando:
    Então, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Conclusão para :
Não é um subespaço porque não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar.

Resposta

Nenhum dos subconjuntos e é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes vetores é combinação linear de .
Observando somente os elementos dos conjuntos abaixo, explicar por que estes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
a. e ;
b. .
Prove que: ii)
Demonstre que se as matrizes inversíveis e são comutativas, então também são comutativas
a) e ;
b) e ;
c) e ;