Sejam
e
e
Algum desses subconjuntos é subespaço de V?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se os conjuntos
e
são subespaços do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes
. Para fazer isso, vai precisar entender os critérios que definem um subespaço e aplicar esses critérios a cada um dos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições básicas:
- Contém o vetor zero: Ou seja, a matriz nula
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Agora, vamos verificar essas condições para
e
separadamente.
Passo 3
Analisando
:
-
Contém o vetor zero?
Sim, a matriz nulatem determinante zero, então . -
Fechado sob adição?
Aqui a gente tem um problema. Se pegarmos duas matrizes com determinante zero, a soma delas nem sempre terá determinante zero. Por exemplo:Ambas têm determinante zero, mas:O determinante deé , que é diferente de zero. Então, . -
Fechado sob multiplicação por escalar?
Sim, setem determinante zero, então qualquer múltiplo escalar de também terá determinante zero.
Conclusão para
:
Não é um subespaço porque não é fechado sob adição.
Não é um subespaço porque não é fechado sob adição.
Passo 4
Analisando
:
-
Contém o vetor zero?
Vamos verificar se: Então, sim,. -
Fechado sob adição?
Vamos testar com duas matrizes em. Por exemplo: Ambas satisfazeme , mas: Verificando:Até aqui parece que funciona, mas vamos tentar outra combinação:
Verificando:Então, nem sempre a soma de duas matrizes emestá em . -
Fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos ver com um escalare uma matriz em : Verificando:Então, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Conclusão para
:
Não é um subespaço porque não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar.
Não é um subespaço porque não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar.
Resposta
Nenhum dos subconjuntos
e
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes vetores é combinação linear de
.
Observando somente os elementos dos conjuntos abaixo, explicar por que estes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
a. e
;
b. .
a.
b.
Prove que: ii)
Demonstre que se as matrizes inversíveis
e
são comutativas, então também são comutativas
a) e
;
b) e
;
c) e
;
a)
b)
c)