Sejam V=M(2 x 2) e W1=A in V ; det A=0 e W2=A in V ; A^2=A Algum desses subconjuntos é subespaço de V?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se os conjuntos e são subespaços do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes . Para fazer isso, vai precisar entender os critérios que definem um subespaço e aplicar esses critérios a cada um dos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, a matriz nula deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Agora, vamos verificar essas condições para e separadamente.

Passo 3

Analisando A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1 :
  1. Contém o vetor zero?
    Sim, a matriz nula A + B = 1 & 0 0 & 1 tem determinante zero, então .
  2. Fechado sob adição?
    Aqui a gente tem um problema. Se pegarmos duas matrizes com determinante zero, a soma delas nem sempre terá determinante zero. Por exemplo:
    Ambas têm determinante zero, mas:
    O determinante de é , que é diferente de zero. Então, .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    Sim, se tem determinante zero, então qualquer múltiplo escalar de também terá determinante zero.
Conclusão para :
Não é um subespaço porque não é fechado sob adição.

Passo 4

Analisando 0^2 = 0 times 0 = 0 :
  1. Contém o vetor zero?
    Vamos verificar se A = 1 & 0 0 & 0 , B = 0 & 0 0 & 1 :
    A + B = 1 & 0 0 & 1
    Então, sim, (A + B)^2 = 1 & 0 0 & 1 ^2 = 1 & 0 0 & 1 = A + B .
  2. Fechado sob adição?
    Vamos testar com duas matrizes em C = 1 & 0 0 & 0 , D = 1 & 0 0 & 0 . Por exemplo:
    2 & 0 0 & 0
    Ambas satisfazem (C + D)^2 = 4 & 0 0 & 0 neq C + D e A = 1 & 0 0 & 0 , 2A = 2 & 0 0 & 0 , mas:
    (2A)^2 = 4 & 0 0 & 0 neq 2A
    Verificando:
    Até aqui parece que funciona, mas vamos tentar outra combinação:

    Verificando:
    Então, nem sempre a soma de duas matrizes em está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar?
    Vamos ver com um escalar e uma matriz em :
    Verificando:
    Então, não é fechado sob multiplicação por escalar.
Conclusão para :
Não é um subespaço porque não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar.

Resposta

Nenhum dos subconjuntos e é um subespaço de .

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