Sejam
e
bases de
Obter: As matrizes de mudança de base:
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão nos dá duas bases de
:
e
. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz de mudança de base de
para
, ou seja, a matriz que transforma as coordenadas dos vetores na base
para as coordenadas na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, ela serve para converter as coordenadas de um vetor em uma base para as coordenadas desse mesmo vetor em outra base. A fórmula geral para a matriz de mudança de base de
para
é:
onde
e
são os vetores da base
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos vetores de
na base
.
Os vetores de
são
e
.
Queremos expressar esses vetores como combinações lineares dos vetores de
. Ou seja, encontrar escalares
e
tais que:
Vamos resolver isso para encontrar
,
,
e
.
Para
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Somando as equações (1) e (2):
Substituindo
na equação (2):
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Agora, para
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da equação (3):
Substituindo na equação (4):
Então,
.
Assim, as coordenadas de
na base
são
.
Resposta
A matriz de mudança de base de
para
é: