Sejam e bases de Obter: As matrizes de mudança de base:

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão nos dá duas bases de : e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz de mudança de base de para , ou seja, a matriz que transforma as coordenadas dos vetores na base para as coordenadas na base .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, ela serve para converter as coordenadas de um vetor em uma base para as coordenadas desse mesmo vetor em outra base. A fórmula geral para a matriz de mudança de base de para é:
onde e são os vetores da base .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos vetores de na base .
Os vetores de são e .
Queremos expressar esses vetores como combinações lineares dos vetores de . Ou seja, encontrar escalares e tais que:
Vamos resolver isso para encontrar , , e .
Para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Somando as equações (1) e (2):
Substituindo na equação (2):
Então, as coordenadas de na base são .
Agora, para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da equação (3):
Substituindo na equação (4):
Então, .
Assim, as coordenadas de na base são .

Resposta

A matriz de mudança de base de para é:

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes vetores é combinação linear de .
Verificar se os seguintes conjuntos são bases do . Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto:
Quais são as coordenadas do vetor em relação á base :
Observando somente os elementos dos conjuntos abaixo, explicar por que estes conjuntos de vetores são linearmente dependentes:
a. e ;
b. .