Sejam beta1=(1,0),(0,1), beta2=(-1,1),(1,1), beta3=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta4=(2,0),(0,2) bases de R^2 Obter: As matrizes de mudança de base: [[]beta1^beta2

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão nos dá duas bases de : e . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a matriz de mudança de base de para , ou seja, a matriz que transforma as coordenadas dos vetores na base para as coordenadas na base .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Basicamente, ela serve para converter as coordenadas de um vetor em uma base para as coordenadas desse mesmo vetor em outra base. A fórmula geral para a matriz de mudança de base de Pbeta1 to beta2 = [ [ v1 ]beta2 [ v2 ]beta2 ] para é:
onde e são os vetores da base .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos vetores de v1 = a cdot (-1, 1) + b cdot (1, 1) na base v2 = c cdot (-1, 1) + d cdot (1, 1) .
Os vetores de (1, 0) = a(-1, 1) + b(1, 1) são Rightarrow (-a + b, a + b) = (1, 0) e -a + b = 1 (1) .
Queremos expressar esses vetores como combinações lineares dos vetores de a + b = 0 (2) . Ou seja, encontrar escalares (-a + b) + (a + b) = 1 + 0 Rightarrow 2b = 1 Rightarrow b = 12 e a + 12 = 0 Rightarrow a = -12 tais que:
(0, 1) = c(-1, 1) + d(1, 1)
Rightarrow (-c + d, c + d) = (0, 1)
Vamos resolver isso para encontrar -c + d = 0 (3) , c + d = 1 (4) , d = c e c + c = 1 Rightarrow 2c = 1 Rightarrow c = 12 .
Para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Somando as equações (1) e (2):
Substituindo na equação (2):
Então, as coordenadas de na base são .
Agora, para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da equação (3):
Substituindo na equação (4):
Então, .
Assim, as coordenadas de na base são .

Resposta

A matriz de mudança de base de [ cc -dfrac12 & dfrac12 dfrac12 & dfrac12 ] para é:

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