Quais dos seguintes vetores é combinação linear de u=(2 , 1 , 4 ) e v ==(3, 2, 5). (3,1,5)

Passo 1

Vamos resolver esse exercício sobre combinação linear! Precisamos descobrir se o vetor w = (3, 1, 5) pode ser formado combinando linearmente os vetores u = (2, 1, 4) e v = (3, 2, 5). Para isso, vamos encontrar coeficientes que multiplicados por u e v somem o vetor w.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor w é combinação linear de u e v se existir números a e b tais que:
au + bv = w
No nosso caso:
a(2, 1, 4) + b(3, 2, 5) = (3, 1, 5)

Passo 3

Vamos escrever isso componente a componente. Isso significa que cada coordenada do vetor resultante deve ser igual à coordenada correspondente de w. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
2a + 3b = 3 a + 2b = 1 4a + 5b = 5

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b. Vamos começar pela segunda equação:
a + 2b = 1 Rightarrow a = 1 - 2b
Substituímos a na primeira equação:
2(1 - 2b) + 3b = 3 2 - 4b + 3b = 3 2 - b = 3 -b = 1 b = -1

Passo 5

Com o valor de b, vamos encontrar a usando a = 1 - 2b:
a = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3

Passo 6

Por fim, vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a terceira equação:
4(3) + 5(-1) = 12 - 5 = 7 neq 5
Como não satisfazemos a terceira equação, isso significa que não existe combinação linear de u e v que resulte em w.

Resposta

O vetor (3, 1, 5) não é combinação linear de u = (2, 1, 4) e v = (3, 2, 5).

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