Observe o sistema de equações.
Para quais valores de m e n esse sistema é:
a) possível e determinado?
a) possível e determinado?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que nos foi pedido! Temos um sistema de equações com duas variáveis,
e
, e queremos descobrir para quais valores de
e
esse sistema tem uma solução única (ou seja, é possível e determinado). Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Vamos reorganizar as equações para deixá-las na forma padrão
.
Passo 3
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Multiplicando a segunda equação por 3 para eliminar o denominador:
Agora, temos o sistema:
Passo 4
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. A matriz dos coeficientes é:
O determinante
dessa matriz é calculado por:
Para que o sistema tenha solução única, precisamos que
.
Passo 5
Vamos resolver
:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Isolando
:
Passo 6
Com
, o determinante é diferente de zero, garantindo que o sistema tenha uma solução única para qualquer valor de
. Não há restrições sobre
, ou seja,
pode ser qualquer número real.
Resposta
Para o sistema ser possível e determinado,
deve ser diferente de 11 (
) e
pode ser qualquer número real (
).