Observe o sistema de equações.
l (m+12) x-y+6=0 y3-n=2 x
Para quais valores de m e n esse sistema é:
a) possível e determinado? m neq 11 e n in R

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que nos foi pedido! Temos um sistema de equações com duas variáveis, e , e queremos descobrir para quais valores de e esse sistema tem uma solução única (ou seja, é possível e determinado). Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
( m + 12 ) x - y + 6 = 0 y3 - n = 2x
Vamos reorganizar as equações para deixá-las na forma padrão .

Passo 3

Para a primeira equação:
( m + 12 ) x - y + 6 = 0 implies ( m + 12 ) x - y = -6
Para a segunda equação:
y3 - n = 2x implies 2x - y3 = -n
Multiplicando a segunda equação por 3 para eliminar o denominador:
6x - y = -3n
Agora, temos o sistema:
( m + 12 ) x - y = -6 6x - y = -3n

Passo 4

Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero. A matriz dos coeficientes é:
m + 12 & -1 6 & -1
O determinante De dessa matriz é calculado por:
Para que o sistema tenha solução única, precisamos que .

Passo 5

Vamos resolver -m + 12 + 6 neq 0 :
-(m + 1) + 12 neq 0 implies -m - 1 + 12 neq 0 implies -m + 11 neq 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
-m + 11 neq 0 implies m neq 11
Isolando :

Passo 6

Com , o determinante é diferente de zero, garantindo que o sistema tenha uma solução única para qualquer valor de . Não há restrições sobre , ou seja, pode ser qualquer número real.

Resposta

Para o sistema ser possível e determinado, deve ser diferente de 11 ( ) e pode ser qualquer número real ( ).

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