Sejam e três pontos em .
i.- Determine as equações das retas paramétricas e a equação vetorial da reta
a) que passa pelos pontos e
b) que passa pelos pontos e
c) que passa pelos pontos e
ii.-
a) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
b) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
c) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
iii.- Determinar a equação do plano que contém as interseções e e , e e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica no espaço tridimensional. Temos três pontos no espaço: , e . Precisamos encontrar as equações das retas que passam por esses pontos, determinar onde elas se interceptam e, por fim, achar a equação do plano que contém essas interseções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, equações paramétricas e vetoriais de retas, além de equações de planos.
Passo 2
Vamos começar pela parte i-a: determinar a equação paramétrica e vetorial da reta que passa pelos pontos e .
Primeiro, para encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos, precisamos do vetor diretor dessa reta. O vetor diretor é dado pela diferença das coordenadas de e :
Agora, a equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Onde são as componentes do vetor diretor e é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Portanto, a equação paramétrica de é:
A equação vetorial da reta fica:
Passo 3
Agora, vamos para a parte i-b: determinar a equação da reta PR = R - P = (0-0, 4-0, 0-2) = (0, 4, -2) que passa pelos pontos x = 0 + 0t y = 0 + 4t z = 2 - 2t e x = 0 y = 4t z = 2 - 2t .
Primeiro, encontramos o vetor diretor r2 = P + t cdot PR = (0,0,2) + t(0,4,-2) :
Usando a mesma fórmula das equações paramétricas:
Então, a equação paramétrica de é:
E a equação vetorial de é:
Passo 4
Seguimos para a parte i-c: determinar a equação da reta RQ = Q - R = (-2-0, 5-4, 2-0) = (-2,1,2) que passa pelos pontos x = 0 - 2t y = 4 + t z = 0 + 2t e x = -2t y = 4 + t z = 2t .
Calculamos o vetor diretor r3 = R + t cdot RQ = (0,4,0) + t(-2,1,2) :
Agora, escrevemos as equações paramétricas:
Portanto, a equação paramétrica de é:
E a equação vetorial de é:
Passo 5
Agora que temos as equações das três retas, vamos para a parte ii-a: determinar o lugar geométrico onde se intersectam x = -2t y = 5t z = 2 e x = 0 y = 4s z = 2 - 2s .
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as equações paramétricas de -2t = 0 implies t = 0 e y = 5(0) = 0 .
Da equação paramétrica de z = 2 :
2 = 2 - 2s implies -2s = 0 implies s = 0
Da equação paramétrica de y = 4(0) = 0 :
Igualando as coordenadas :
Substituindo na equação de :
E na equação :
Agora, substituindo na equação de :
Substituindo na equação de :
Portanto, o ponto de interseção é , que na verdade é o ponto .
Passo 6
Agora, para a parte ii-b: determinar o lugar geométrico onde se intersectam x = -2t y = 5t z = 2 e x = -2s y = 4 + s z = 2s .
Igualamos as equações paramétricas de -2t = -2s implies t = s e 5t = 4 + s .
Da equação paramétrica de 5t = 4 + t implies 4t = 4 implies t = 1 :
z = 2
Da equação paramétrica de z = 2(1) = 2 :
Igualando :
Igualando :
Como , substituímos:
Substituindo na equação de :
E na equação de :
Portanto, o ponto de interseção é , que é o ponto .
Passo 7
Passando para a parte ii-c: determinar o lugar geométrico onde se intersectam x = -2t y = 4 + t z = 2t e x = 0 y = 4s z = 2 - 2s .
Igualamos as equações paramétricas de -2t = 0 implies t = 0 e y = 4 + 0 = 4 .
Da equação paramétrica de z = 0 :
0 = 2 - 2s implies 2s = 2 implies s = 1
Da equação paramétrica de y = 4(1) = 4 :
Igualando :
Substituindo na equação de :
E na equação :
Agora, substituindo na equação de :
Substituindo na equação de :
Portanto, o ponto de interseção é , que é o ponto .
Passo 8
Agora, vamos para a parte iii: determinar a equação do plano que contém as interseções a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e PQ = Q - P = (-2,5,2) - (0,0,2) = (-2,5,0) PR = R - P = (0,4,0) - (0,0,2) = (0,4,-2) , n = PQ times PR = i & j & k -2 & 5 & 0 0 & 4 & -2 = i(5 cdot (-2) - 0 cdot 4) - j((-2) cdot (-2) - 0 cdot 0) + k((-2) cdot 4 - 5 cdot 0) = i(-10) - j(4) + k(-8) = (-10, -4, -8) e n = (5, 2, 4) , e 5(x - 0) + 2(y - 0) + 4(z - 2) = 0 5x + 2y + 4z - 8 = 0 5x + 2y + 4z = 8 e .
Observando as interseções que encontramos:
e se intersectam no ponto
e se intersectam no ponto
e se intersectam no ponto
Esses três pontos estão no mesmo plano. Para encontrar a equação do plano, podemos usar a forma geral:
Onde são as componentes do vetor normal ao plano, e é um ponto no plano.
Primeiro, encontramos dois vetores no plano, por exemplo e :
O vetor normal ao plano é o produto vetorial de e :
Podemos simplificar dividindo por -2:
Usando o ponto , a equação do plano fica:
Resposta
A equação do plano que contém as interseções 5x + 2y + 4z = 8 e , e , e e é: