Sejam e três pontos em .
i.- Determine as equações das retas paramétricas e a equação vetorial da reta
a) que passa pelos pontos e
b) que passa pelos pontos e
c) que passa pelos pontos e
ii.-
a) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
b) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
c) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
iii.- Determinar a equação do plano que contém as interseções e e , e e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica no espaço tridimensional. Temos três pontos no espaço: , e . Precisamos encontrar as equações das retas que passam por esses pontos, determinar onde elas se interceptam e, por fim, achar a equação do plano que contém essas interseções. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores, equações paramétricas e vetoriais de retas, além de equações de planos.

Passo 2

Vamos começar pela parte i-a: determinar a equação paramétrica e vetorial da reta que passa pelos pontos e .
Primeiro, para encontrar a equação de uma reta que passa por dois pontos, precisamos do vetor diretor dessa reta. O vetor diretor é dado pela diferença das coordenadas de e :
Agora, a equação paramétrica da reta pode ser escrita como:
Onde são as componentes do vetor diretor e é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Portanto, a equação paramétrica de é:
A equação vetorial da reta fica:

Passo 3

Agora, vamos para a parte i-b: determinar a equação da reta que passa pelos pontos e .
Primeiro, encontramos o vetor diretor :
Usando a mesma fórmula das equações paramétricas:
Então, a equação paramétrica de é:
E a equação vetorial de é:

Passo 4

Seguimos para a parte i-c: determinar a equação da reta que passa pelos pontos e .
Calculamos o vetor diretor :
Agora, escrevemos as equações paramétricas:
Portanto, a equação paramétrica de é:
E a equação vetorial de é:

Passo 5

Agora que temos as equações das três retas, vamos para a parte ii-a: determinar o lugar geométrico onde se intersectam e .
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as equações paramétricas de e .
Da equação paramétrica de :
Da equação paramétrica de :
Igualando as coordenadas :
Substituindo na equação de :
E na equação :
Agora, substituindo na equação de :
Substituindo na equação de :
Portanto, o ponto de interseção é , que na verdade é o ponto .

Passo 6

Agora, para a parte ii-b: determinar o lugar geométrico onde se intersectam e .
Igualamos as equações paramétricas de e .
Da equação paramétrica de :
Da equação paramétrica de :
Igualando :
Igualando :
Como , substituímos:
Substituindo na equação de :
E na equação de :
Portanto, o ponto de interseção é , que é o ponto .

Passo 7

Passando para a parte ii-c: determinar o lugar geométrico onde se intersectam e .
Igualamos as equações paramétricas de e .
Da equação paramétrica de :
Da equação paramétrica de :
Igualando :
Substituindo na equação de :
E na equação :
Agora, substituindo na equação de :
Substituindo na equação de :
Portanto, o ponto de interseção é , que é o ponto .

Passo 8

Agora, vamos para a parte iii: determinar a equação do plano que contém as interseções e , e , e e .
Observando as interseções que encontramos:
  • e se intersectam no ponto
  • e se intersectam no ponto
  • e se intersectam no ponto
Esses três pontos estão no mesmo plano. Para encontrar a equação do plano, podemos usar a forma geral:
Onde são as componentes do vetor normal ao plano, e é um ponto no plano.
Primeiro, encontramos dois vetores no plano, por exemplo e :
O vetor normal ao plano é o produto vetorial de e :
Podemos simplificar dividindo por -2:
Usando o ponto , a equação do plano fica:

Resposta

A equação do plano que contém as interseções e , e , e e é:

Exercícios relacionados

Mostre que dados dois pontos em , existe uma única reta que passa por esses pontos.
Obtenha o ângulo entre os vetores da base canônica de .
Sejam e três pontos em .
i.- Determine as equações das retas paramétricas e a equação vetorial da reta
a) que passa pelos pontos e
b) que passa pelos pontos e
c) que passa pelos pontos e
ii.-
a) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
b) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
c) Determine o lugar geométrico onde se intersectam e .
iii.- Determinar a equação do plano que contém as interseções e e , e e .
Determine as coordenadas de um vetor de mesma direção de e que:
(a) tenha módulo igual a 9 ;
(b) seja o versor de ;
© tenha módulo igual à metade do módulo de .