Obtenha, caso exista, a equação da assíntota vertical para a função f(x)=x+4(x−5)2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar, se existir, a equação da assíntota vertical da função $ f(x) = x + \frac{4}{(x - 5)^2} $. A matéria envolvida aqui é Análise de Funções e mais especificamente, assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma função tem assíntotas verticais, ou seja, identificar os valores de $ x $ que fazem a função “explodir” para infinito ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é uma assíntota vertical. Ela ocorre em valores de $ x $ onde a função não está definida, geralmente devido a uma divisão por zero. Então, nosso objetivo é encontrar os valores de $ x $ que tornam o denominador da fração $ \frac{4}{(x - 5)^2} $ igual a zero.
Passo 3
Vamos analisar o denominador da fração: $ (x - 5)^2 $. Queremos saber para quais valores de $ x $ esse denominador é igual a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Então, quando $ x = 5 $, o denominador se torna zero, o que faz a função não estar definida nesse ponto.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se, ao se aproximar de $ x = 5 $, a função tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $, confirmando assim a presença de uma assíntota vertical. Observando a fração $ \frac{4}{(x - 5)^2} $, percebemos que, independentemente do valor de $ x $ próximo a 5, o denominador ao quadrado sempre gera um valor positivo, fazendo com que a fração tende a $ +\infty $ quando $ x $ se aproxima de 5.
Passo 6
Portanto, a função $ f(x) = x + \frac{4}{(x - 5)^2} $ possui uma assíntota vertical em $ x = 5 $.
Resposta
A equação da assíntota vertical da função é $ x = 5 $.