Obtenha, caso exista, a equação da assíntota vertical para a função f(x)=x+4(x−5)2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar, se existir, a equação da assíntota vertical da função $ f(x) = x + \frac{4}{(x - 5)^2} $. A matéria envolvida aqui é Análise de Funções e mais especificamente, assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar entender quando uma função tem assíntotas verticais, ou seja, identificar os valores de $ x $ que fazem a função “explodir” para infinito ou menos infinito.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma assíntota vertical. Ela ocorre em valores de $ x $ onde a função não está definida, geralmente devido a uma divisão por zero. Então, nosso objetivo é encontrar os valores de $ x $ que tornam o denominador da fração $ \frac{4}{(x - 5)^2} $ igual a zero.

Passo 3

Vamos analisar o denominador da fração: $ (x - 5)^2 $. Queremos saber para quais valores de $ x $ esse denominador é igual a zero:
(x - 5)^2

Passo 4

Resolvendo a equação:
(x - 5)^2 = 0 Rightarrow x - 5 = 0 Rightarrow x = 5
Então, quando $ x = 5 $, o denominador se torna zero, o que faz a função não estar definida nesse ponto.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se, ao se aproximar de $ x = 5 $, a função tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $, confirmando assim a presença de uma assíntota vertical. Observando a fração $ \frac{4}{(x - 5)^2} $, percebemos que, independentemente do valor de $ x $ próximo a 5, o denominador ao quadrado sempre gera um valor positivo, fazendo com que a fração tende a $ +\infty $ quando $ x $ se aproxima de 5.

Passo 6

Portanto, a função $ f(x) = x + \frac{4}{(x - 5)^2} $ possui uma assíntota vertical em $ x = 5 $.

Resposta

A equação da assíntota vertical da função é $ x = 5 $.

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