(a) Obtenha um conjunto de grupos adimensionais, utilizando o Teorema de pi de Buckingham, que possam ser usados para correlacionar dados experimentais de um escoamento sobre um transdutor sonar liso de formato esférico, lembrando que esse escoamento gera uma força de arrasto sobre o transdutor sonar; ( 0 , 5 p t )

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde temos que usar o Teorema de Buckingham Pi para encontrar grupos adimensionais. O contexto é o escoamento de um fluido sobre um transdutor sonar esférico liso, que gera uma força de arrasto. Então, vamos precisar entender um pouco sobre análise dimensional e como o Teorema de Buckingham Pi nos ajuda a correlacionar dados experimentais usando grupos sem unidades.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as variáveis que estão envolvidas no problema. Para o escoamento e a força de arrasto, geralmente consideramos:
  1. Força de arrasto (F) – mede a força que o fluido exerce sobre o transdutor.
  2. Velocidade do fluido (V) – quão rápido o fluido está se movendo em relação ao transdutor.
  3. Diâmetro do transdutor (D) – o tamanho da esfera.
  4. Densidade do fluido (ρ) – quanto o fluido pesa por unidade de volume.
  5. Viscosidade dinâmica do fluido (μ) – que indica quão “espesso” ou “fino” é o fluido.

Passo 3

Agora, precisamos determinar quantos grupos adimensionais (π) vamos ter. O Teorema de Buckingham Pi diz que o número de grupos π é igual ao número de variáveis mais a menos o número de dimensões fundamentais envolvidas. Aqui, temos 5 variáveis e 3 dimensões fundamentais (massa, comprimento e tempo). Então, 5 - 3 = 2 grupos adimensionais.

Passo 4

Escolhemos as variáveis repetitivas que vão nos ajudar a formar os grupos π. Normalmente, escolhemos aquelas que representam as dimensões básicas do problema. Aqui, podemos escolher:
  • Densidade do fluido (ρ)
  • Velocidade do fluido (V)
  • Diâmetro do transdutor (D)

Passo 5

Agora, formamos os grupos π combinando a variável que queremos tornar adimensional (neste caso, a força de arrasto F) com as variáveis repetitivas. A ideia é ajustar os expoentes para que as unidades se cancelem.
Vamos formar o primeiro grupo π₁ com a força de arrasto F:
pi1 = Frho V^2 D^2
Essa combinação resulta em uma quantidade adimensional.
Para o segundo grupo π₂, podemos considerar a viscosidade dinâmica μ:
pi2 = murho V D
Também é uma quantidade sem unidade.

Passo 6

Esses grupos adimensionais que encontramos são bastante conhecidos na física dos fluidos:
  1. Número de Drag (C_D) – Representa a resistência do fluido ao movimento do transdutor:
CD = F12 rho V^2 D^2
  1. Número de Reynolds (Re) – Indica o regime do escoamento, se é laminar ou turbulento:
Re = rho V Dmu

Resposta

Os grupos adimensionais obtidos são:
  1. Número de Drag (C_D):
CD = F12 rho V^2 D^2
  1. Número de Reynolds (Re):
Re = rho V Dmu
Esses grupos podem ser usados para correlacionar os dados experimentais do escoamento sobre o transdutor sonar esférico.

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