Um solenóide longo, com 1000 espiras por metro e raio de
conduz uma corrente alternada dada por
e
. Qual o campo elétrico induzido à uma distância
à partir do eixo do solenóide? Qual o sentido deste campo elétrico quando a corrente está aumentando no sentido anti-horário na espira?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um solenóide longo com 1000 espiras por metro e raio de 2 cm que está conduzindo uma corrente alternada. Precisamos encontrar o campo elétrico induzido a uma distância de 1 cm do eixo do solenóide e também determinar a direção desse campo quando a corrente está aumentando no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday, que relaciona a variação do fluxo magnético com o campo elétrico induzido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a corrente que está passando pelo solenóide. A corrente é dada por:
Onde:
-
é a amplitude da corrente. -
é a frequência angular.
Vamos precisar calcular a derivada dessa corrente em relação ao tempo, que nos dará a taxa de variação da corrente:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Faraday, que nos diz que a integral do campo elétrico
ao longo de um caminho fechado é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético
através desse caminho:
Para um caminho circular de raio
dentro do solenóide, o fluxo magnético é:
Onde
é o campo magnético dentro do solenóide.
Passo 4
O campo magnético dentro de um solenóide longo é dado por:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo. -
é a densidade de espiras.
Substituindo
:
Passo 5
Calculando o fluxo magnético:
A derivada do fluxo em relação ao tempo é:
Passo 6
Aplicando a Lei de Faraday:
Como o caminho é circular e
é constante ao longo dele, a integral se simplifica para:
Passo 7
Isolando
:
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Substituindo na equação:
Passo 8
Vamos simplificar os coeficientes:
Primeiro, multiplicamos os números:
Então:
Simplificando:
Substituindo
:
Resposta
O campo elétrico induzido a 1,00 cm do eixo do solenóide é:
Quanto à direção, quando a corrente está aumentando no sentido anti-horário na espira, o campo elétrico induzido circula em sentido horário para contrariar o aumento do fluxo magnético, conforme a Lei de Lenz.