Um solenóide longo, com 1000 espiras por metro e raio de 2,00 cm conduz uma corrente alternada dada por
I(t)=I0 sen(omega t)
com I0=5,00 A e omega=100 pi rad / s. Qual o campo elétrico induzido à uma distância r=1,00 cm à partir do eixo do solenóide? Qual o sentido deste campo elétrico quando a corrente está aumentando no sentido anti-horário na espira?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um solenóide longo com 1000 espiras por metro e raio de 2 cm que está conduzindo uma corrente alternada. Precisamos encontrar o campo elétrico induzido a uma distância de 1 cm do eixo do solenóide e também determinar a direção desse campo quando a corrente está aumentando no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday, que relaciona a variação do fluxo magnético com o campo elétrico induzido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a corrente que está passando pelo solenóide. A corrente é dada por:
I(t) = I0 cdot sin(omega t)
Onde:
  • I0 = 5,00, A é a amplitude da corrente.
  • omega = 100pi, rad/s é a frequência angular.
Vamos precisar calcular a derivada dessa corrente em relação ao tempo, que nos dará a taxa de variação da corrente:
dIdt = I0 omega cdot cos(omega t)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei de Faraday, que nos diz que a integral do campo elétrico E ao longo de um caminho fechado é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético PhiB através desse caminho:
oint E cdot dl = -dPhiBdt
Para um caminho circular de raio r = 1,00, cm dentro do solenóide, o fluxo magnético é:
PhiB = B(t) cdot pi r^2
Onde B(t) é o campo magnético dentro do solenóide.

Passo 4

O campo magnético dentro de um solenóide longo é dado por:
B(t) = mu0 N I(t)
Onde:
  • mu0 = 4pi times 10^-7, T cdot m/A é a permeabilidade do vácuo.
  • N = 1000, espiras/m é a densidade de espiras.
Substituindo I(t):
B(t) = mu0 N I0 sin(omega t)

Passo 5

Calculando o fluxo magnético:
PhiB = mu0 N I0 sin(omega t) cdot pi r^2
A derivada do fluxo em relação ao tempo é:
dPhiBdt = mu0 N I0 omega cos(omega t) cdot pi r^2

Passo 6

Aplicando a Lei de Faraday:
oint E cdot dl = -mu0 N I0 omega cos(omega t) cdot pi r^2
Como o caminho é circular e E é constante ao longo dele, a integral se simplifica para:
E cdot 2pi r = -mu0 N I0 omega cos(omega t) cdot pi r^2

Passo 7

Isolando E:
E = -mu0 N I0 omega r2 cos(omega t)
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
  • mu0 = 4pi times 10^-7, T cdot m/A
  • N = 1000, espiras/m
  • I0 = 5,00, A
  • omega = 100pi, rad/s
  • r = 0,01, m
Substituindo na equação:
E = -4pi times 10^-7 times 1000 times 5 times 100pi times 0,012 cos(100pi t)

Passo 8

Vamos simplificar os coeficientes:
E = -4pi times 10^-7 times 1000 times 5 times 100pi times 0,012
Primeiro, multiplicamos os números:
4 times 1000 times 5 times 100 times 0,01 = 20000
Então:
E = -20000 pi^2 times 10^-72 cos(100pi t) = -10000 pi^2 times 10^-7 cos(100pi t)
Simplificando:
E = -pi^2 times 10^-3 cos(100pi t), V/m
Substituindo pi^2 approx 9,8696:
E approx -9,8696 times 10^-3 cos(100pi t), V/m

Resposta

O campo elétrico induzido a 1,00 cm do eixo do solenóide é:
E(r, t) approx -9,87 times 10^-3 cos(100pi t), V/m
Quanto à direção, quando a corrente está aumentando no sentido anti-horário na espira, o campo elétrico induzido circula em sentido horário para contrariar o aumento do fluxo magnético, conforme a Lei de Lenz.

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