Reobtenha a força exercida pela cargas induzidas na superfície condutora sobre a partícula carregada mas, agora, por integração direta, ou seja, calculando explicitamente a integral
onde é a superfície condutora, caracterizada por .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a força exercida pelas cargas induzidas na superfície de um condutor sobre uma partícula carregada. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente sobre a interação entre cargas e campos elétricos em superfícies condutoras. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e realizar uma integração direta sobre a superfície condutora.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da força que precisamos calcular:
Aqui, é a carga da partícula, é a permissividade do vácuo, é a densidade de carga superficial no condutor, e é a superfície do condutor onde .

Passo 3

Vamos simplificar o denominador da fração:
Isso porque e são perpendiculares, então o módulo do vetor resultante é a raiz quadrada da soma dos quadrados.

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão da força:
Como a superfície está no plano , podemos usar coordenadas polares para descrever qualquer ponto na superfície: é a distância radial e é o ângulo azimutal.

Passo 5

Expressando o elemento de área em coordenadas polares:
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Assumindo que a densidade de carga é uniforme e igual a , podemos tirar para fora da integral:

Passo 7

Vamos separar a integral em componentes e radiais:
Observamos que a segunda integral, envolvendo , se anula devido à simetria circular, então sobra apenas a componente .

Passo 8

Focando na componente , a integral interna é:
Fazendo a substituição , temos , então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da força:

Resposta

A força exercida pelas cargas induzidas na superfície condutora sobre a partícula carregada é:

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