Reobtenha a força exercida pela cargas induzidas na superfície condutora sobre a partícula carregada mas, agora, por integração direta, ou seja, calculando explicitamente a integral
Fq=q4 pi epsilon0 integralS sigma(b^prime)(h z-s^prime s^prime)|h z-s^prime s^3|^3 d A^prime
onde S é a superfície condutora, caracterizada por z=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a força exercida pelas cargas induzidas na superfície de um condutor sobre uma partícula carregada. A matéria envolvida aqui é Eletrostática, especificamente sobre a interação entre cargas e campos elétricos em superfícies condutoras. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Coulomb e realizar uma integração direta sobre a superfície condutora.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão da força que precisamos calcular:
Fq=q4 pi epsilon0 integralS sigma(b^prime)(h z - s^prime s^prime)|h z - s^prime s^prime|^3 dA^prime
Aqui, é a carga da partícula, é a permissividade do vácuo, é a densidade de carga superficial no condutor, e é a superfície do condutor onde .

Passo 3

Vamos simplificar o denominador da fração:
|h z - s^prime s^prime|^3 = (h^2 + s^prime 2)^3/2
Isso porque e são perpendiculares, então o módulo do vetor resultante é a raiz quadrada da soma dos quadrados.

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão da força:
Fq=q4 pi epsilon0 integralS sigma(b^prime)(h z - s^prime s^prime)(h^2 + s^prime 2)^3/2 dA^prime
Como a superfície está no plano , podemos usar coordenadas polares para descrever qualquer ponto na superfície: é a distância radial e é o ângulo azimutal.

Passo 5

Expressando o elemento de área dA' = s' ds' dphi em coordenadas polares:
Fq=q4 pi epsilon0 integral0^2pi integral0^infty sigma(b^prime)(h z - s^prime s^prime)(h^2 + s^prime 2)^3/2 s' ds' dphi
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Assumindo que a densidade de carga Fq=q sigma04 pi epsilon0 integral0^2pi integral0^infty (h z - s^prime s^prime)(h^2 + s^prime 2)^3/2 s' ds' dphi é uniforme e igual a , podemos tirar para fora da integral:

Passo 7

Vamos separar a integral em componentes Fq=q sigma04 pi epsilon0 [ h z integral0^2pi integral0^infty s'(h^2 + s^prime 2)^3/2 ds' dphi - integral0^2pi integral0^infty s'^2 s^prime(h^2 + s^prime 2)^3/2 ds' dphi ] e radiais:
Observamos que a segunda integral, envolvendo , se anula devido à simetria circular, então sobra apenas a componente .

Passo 8

Focando na componente integral0^infty s'(h^2 + s^prime 2)^3/2 ds' , a integral interna é:
12 integralh^2^infty u^-3/2 du = 12 [ -2u^-1/2 ]h^2^infty = 1h
Fazendo a substituição , temos , então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da força:
Fq=q sigma04 pi epsilon0 cdot h z cdot integral0^2pi 1h dphi = q sigma04 pi epsilon0 cdot z cdot 2pi = q sigma02 epsilon0 z

Resposta

A força exercida pelas cargas induzidas na superfície condutora sobre a partícula carregada é:
Fq = q sigma02 epsilon0 z

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