Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x y^4x^2 y^4+x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais, que nos mostram como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra permanece fixa. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar expressões que envolvem divisão de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = (u)'v - u(v)'v^2 em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra do quociente:
Onde e .

Passo 3

Calculando u = x y^4 Rightarrow u' = y^4 em relação a v = x^2 y^4 + x y Rightarrow v' = 2x y^4 + y :
Agora, calculando em relação a :

Passo 4

Substituindo partial fpartial x = y^4(x^2 y^4 + x y) - x y^4(2x y^4 + y)(x^2 y^4 + x y)^2 e na fórmula da derivada:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
y^4(x^2 y^4 + x y) = x^2 y^8 + x y^5
x y^4(2x y^4 + y) = 2x^2 y^8 + x y^5
Numerador = (x^2 y^8 + x y^5) - (2x^2 y^8 + x y^5) = -x^2 y^8

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial fpartial x = -x^2 y^8(x^2 y^4 + x y)^2

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = (u)'v - u(v)'v^2 em relação a , ou seja, . Novamente, aplicamos a regra do quociente:
Onde e .

Passo 8

Calculando u = x y^4 Rightarrow u' = 4x y^3 em relação a v = x^2 y^4 + x y Rightarrow v' = 4x^2 y^3 + x :
Agora, calculando em relação a :

Passo 9

Substituindo partial fpartial y = 4x y^3(x^2 y^4 + x y) - x y^4(4x^2 y^3 + x)(x^2 y^4 + x y)^2 e na fórmula da derivada:

Passo 10

Vamos simplificar o numerador:
4x y^3(x^2 y^4 + x y) = 4x^3 y^7 + 4x^2 y^4
x y^4(4x^2 y^3 + x) = 4x^3 y^7 + x^2 y^4
Numerador = (4x^3 y^7 + 4x^2 y^4) - (4x^3 y^7 + x^2 y^4) = 3x^2 y^4

Passo 11

Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial fpartial y = 3x^2 y^4(x^2 y^4 + x y)^2

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = -x^2 y^8(x^2 y^4 + x y)^2 são:
partial fpartial y = 3x^2 y^4(x^2 y^4 + x y)^2

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