Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=-raiz10 x^2+8 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente plotar o gráfico da função . Isso tá ligado à matéria de Funções de Duas Variáveis e Gráficos 3D. Pra resolver, vamos precisar entender de superfícies no espaço tridimensional e como representar matematicamente essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . O que isso significa? Bem, para cada par de valores , a função nos dá um valor . Aqui, estamos lidando com uma raiz quadrada, então o que está dentro da raiz, , precisa ser maior ou igual a zero, o que já está ok porque quadrados são sempre positivos.

Passo 3

Agora, vamos entender a forma dessa função. é uma expressão quadrática em e , que se parece com a equação de uma elipse quando igualamos a uma constante. Ao tirar a raiz quadrada disso e multiplicar por -1, estamos basicamente invertendo a forma, criando uma superfície que se abre para baixo.

Passo 4

Para plotar isso, podemos usar software de matemática como o GeoGebra, MATLAB ou até o Python com bibliotecas como Matplotlib. Mas vamos entender como seria o gráfico:
  1. Eixo X e Y: Representam as variáveis e .
  2. Eixo Z: Representa o valor de .
  3. Superfície: Como a função é negativa e envolve uma raiz quadrada, veremos uma espécie de “paraboloide” invertido.

Passo 5

Vamos pensar nos cortes dessa superfície:
  • Corte com o plano XZ ( ): . Isso dá duas linhas simétricas em .
  • Corte com o plano YZ ( ): . Também duas linhas simétricas em .
Esses cortes ajudam a visualizar como a superfície se comporta em diferentes direções.

Passo 6

Para desenhar o gráfico, considere que para cada ponto , calculamos e traçamos no espaço. Como os coeficientes de e são diferentes (10 e 8), a superfície é mais estreita ao longo do eixo que tem o coeficiente maior.

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, o gráfico de será uma superfície côncava que se abre para baixo, simétrica em relação aos eixos X e Y, e mais estreita ao longo do eixo X devido ao coeficiente 10.

Resposta

O gráfico da função é uma superfície paraboloide invertida, simétrica em relação aos eixos X e Y, mais estreita ao longo do eixo X, formando uma forma côncava que se abre para baixo no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=1-x-7 y
Usando argumentos geométricos, determine a equação reta tangente à parábola P: y^2-4 y+6 x-8=0 no ponto T(-4,4).
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice V=(0,0), utilizando as informações dadas:
(b) O eixo x é o eixo de simetria e ponto (5,10) pertence à parábola.
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x y^4x^2 y^4+x y