Plote o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente plotar o gráfico da função
. Isso tá ligado à matéria de Funções de Duas Variáveis e Gráficos 3D. Pra resolver, vamos precisar entender de superfícies no espaço tridimensional e como representar matematicamente essas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. O que isso significa? Bem, para cada par de valores
, a função nos dá um valor
. Aqui, estamos lidando com uma raiz quadrada, então o que está dentro da raiz,
, precisa ser maior ou igual a zero, o que já está ok porque quadrados são sempre positivos.
Passo 3
Agora, vamos entender a forma dessa função.
é uma expressão quadrática em
e
, que se parece com a equação de uma elipse quando igualamos a uma constante. Ao tirar a raiz quadrada disso e multiplicar por -1, estamos basicamente invertendo a forma, criando uma superfície que se abre para baixo.
Passo 4
Para plotar isso, podemos usar software de matemática como o GeoGebra, MATLAB ou até o Python com bibliotecas como Matplotlib. Mas vamos entender como seria o gráfico:
- Eixo X e Y: Representam as variáveis
e . - Eixo Z: Representa o valor de
. - Superfície: Como a função é negativa e envolve uma raiz quadrada, veremos uma espécie de “paraboloide” invertido.
Passo 5
Vamos pensar nos cortes dessa superfície:
- Corte com o plano XZ (
): . Isso dá duas linhas simétricas em . - Corte com o plano YZ (
): . Também duas linhas simétricas em .
Esses cortes ajudam a visualizar como a superfície se comporta em diferentes direções.
Passo 6
Para desenhar o gráfico, considere que para cada ponto
, calculamos
e traçamos no espaço. Como os coeficientes de
e
são diferentes (10 e 8), a superfície é mais estreita ao longo do eixo que tem o coeficiente maior.
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, o gráfico de
será uma superfície côncava que se abre para baixo, simétrica em relação aos eixos X e Y, e mais estreita ao longo do eixo X devido ao coeficiente 10.
Resposta
O gráfico da função
é uma superfície paraboloide invertida, simétrica em relação aos eixos X e Y, mais estreita ao longo do eixo X, formando uma forma côncava que se abre para baixo no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Plote o gráfico das seguintes funções:
Usando argumentos geométricos, determine a equação reta tangente à parábola
no ponto
.
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice
, utilizando as informações dadas:
(b) O eixo é o eixo de simetria e ponto
pertence à parábola.
(b) O eixo
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções: