Plote os seguintes cilindros em R^3 :
z=3+raiz8-x^2-2 x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos plotar o cilindro definido pela equação no espaço tridimensional . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica e cálculo de superfícies. Para resolver isso, vamos entender a forma da equação e como ela representa um cilindro no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o entendimento. Temos:
z = 3 + raiz8 - x^2 - 2x
Para simplificar a expressão dentro da raiz, completamos o quadrado para a parte que envolve 8 - x^2 - 2x = 8 - (x^2 + 2x) :
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
Completando o quadrado para 8 - (x^2 + 2x) = 8 - [(x + 1)^2 - 1] = 9 - (x + 1)^2 :
z = 3 + raiz9 - (x + 1)^2
Substituindo de volta na expressão original:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar essa equação. A expressão dentro da raiz, , nos dá uma circunferência no plano . A raiz quadrada indica que está relacionado à distância do ponto em relação ao eixo , já que não aparece na equação. Isso sugere que o cilindro tem eixo paralelo ao eixo .

Passo 4

Para visualizar o cilindro, vamos fixar diferentes valores de e observar como varia com :
  • Para cada valor fixo de , a equação descreve uma semicircunferência no plano com centro em e raio .
  • Como pode assumir qualquer valor real, repetimos essa semicircunferência ao longo do eixo , formando um cilindro circular.

Passo 5

Portanto, o cilindro em definido pela equação é um cilindro circular vertical, com eixo paralelo ao eixo , centro da base em no plano e raio .

Resposta

O cilindro é um cilindro circular vertical no espaço tridimensional, com eixo paralelo ao eixo , centro da base em no plano e raio igual a . Ele se estende infinitamente ao longo do eixo .

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