Obtenha dim ker T e dim Im T. Responda (JUSTIFICANDO) se T é injetora, se T é sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a dimensão do núcleo de ( ) e a dimensão da imagem de ( ). Além disso, precisamos dizer se é injetora (ou seja, sem “repetição” nos elementos mapeados) e sobrejetora (ou seja, se cobre todo o espaço de chegada). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo, imagem e o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que ker T = v in V mid T(v) = 0 é uma transformação linear entre dois espaços vetoriais. O núcleo de Im T = T(v) mid v in V , , é o conjunto de todos os vetores de que são mapeados para o vetor zero em . A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores de que são alcançados por .
Matematicamente:

Passo 3

O próximo passo é usar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz:
dim V = dim ker T + dim Im T
Esse teorema nos ajuda a relacionar as dimensões dos espaços envolvidos.

Passo 4

Para encontrar dim Im T = r e dim ker T = n - r , precisamos das informações sobre a transformação . Supondo que seja representada por uma matriz , podemos utilizar a redução por linha para determinar o posto da matriz (que é ) e então, usando o Teorema do Núcleo e Imagem, encontrar .
Por exemplo, se é uma matriz , e o seu posto é , então:

Passo 5

Agora, para determinar se é injetora, verificamos se o núcleo contém apenas o vetor zero. Se , então é injetora.
Para verificar se é sobrejetora, precisamos ver se a imagem de é igual ao espaço de chegada . Isso acontece quando .

Resposta

Portanto, e . A transformação é injetora se e é sobrejetora se .

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