Obtenha dim
e
. Responda (JUSTIFICANDO) se
é injetora, se
é sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a dimensão do núcleo de
(
) e a dimensão da imagem de
(
). Além disso, precisamos dizer se
é injetora (ou seja, sem “repetição” nos elementos mapeados) e sobrejetora (ou seja, se cobre todo o espaço de chegada). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, núcleo, imagem e o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é uma transformação linear entre dois espaços vetoriais. O núcleo de
,
, é o conjunto de todos os vetores de
que são mapeados para o vetor zero em
. A imagem de
,
, é o conjunto de todos os vetores de
que são alcançados por
.
Matematicamente:
Passo 3
O próximo passo é usar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz:
Esse teorema nos ajuda a relacionar as dimensões dos espaços envolvidos.
Passo 4
Para encontrar
e
, precisamos das informações sobre a transformação
. Supondo que
seja representada por uma matriz
, podemos utilizar a redução por linha para determinar o posto da matriz (que é
) e então, usando o Teorema do Núcleo e Imagem, encontrar
.
Por exemplo, se
é uma matriz
, e o seu posto é
, então:
Passo 5
Agora, para determinar se
é injetora, verificamos se o núcleo contém apenas o vetor zero. Se
, então
é injetora.
Para verificar se
é sobrejetora, precisamos ver se a imagem de
é igual ao espaço de chegada
. Isso acontece quando
.
Resposta
Portanto,
e
. A transformação
é injetora se
e é sobrejetora se
.