Seja A, B in M2 times 2(R).
(a) Mostre que (A B)^t=(A)^t(B)^t.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos duas matrizes quadradas e de ordem com números reais. O exercício pede para mostrar que a transposta do produto delas, ou seja, , é igual ao produto das transpostas na ordem inversa, . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes e o que significa a transposta de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz m11 & m12 m21 & m22 , denotada por m11 & m21 m12 & m22 , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Por exemplo, se , então .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como multiplicamos duas matrizes (AB)ij = ai1b1j + ai2b2j e . O elemento na posição da matriz produto é a soma dos produtos dos elementos da linha de com os elementos da coluna de . Ou seja,

Passo 4

Vamos calcular a transposta do produto (AB)^tij = (AB)ji = aj1b1i + aj2b2i . Pela definição de transposta, o elemento de é igual ao elemento de . Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto das transpostas A^t = a11 & a21 a12 & a22 e B^t = b11 & b21 b12 & b22 . Primeiro, encontramos as transpostas:
(A^tB^t)ij = ai1b1j + ai2b2j
Multiplicando por , o elemento é:

Passo 6

Comparando as duas expressões obtidas:
(AB)^tij = aj1b1i + aj2b2i
(A^tB^t)ij = ai1b1j + ai2b2j
Para que essas duas sejam iguais para todos e , isso confirma que .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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