Seja
.
(a) Mostre que
.
(a) Mostre que
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
com números reais. O exercício pede para mostrar que a transposta do produto delas, ou seja,
, é igual ao produto das transpostas na ordem inversa,
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes e o que significa a transposta de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando as linhas pelas colunas. Por exemplo, se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como multiplicamos duas matrizes
e
. O elemento na posição
da matriz produto
é a soma dos produtos dos elementos da linha
de
com os elementos da coluna
de
. Ou seja,
Passo 4
Vamos calcular a transposta do produto
. Pela definição de transposta, o elemento
de
é igual ao elemento
de
. Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto das transpostas
. Primeiro, encontramos as transpostas:
Multiplicando
por
, o elemento
é:
Passo 6
Comparando as duas expressões obtidas:
Para que essas duas sejam iguais para todos
e
, isso confirma que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.