Considere o plano
de equação
e o ponto
.
© Existe algum ponto do plano
cuja distância ao ponto
é menor que 1? Justifique.
© Existe algum ponto do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um plano
com a equação
e um ponto
. A pergunta é: existe algum ponto nesse plano
que está mais perto do que 1 unidade de distância do ponto
? Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre um ponto
e um plano dado pela equação
. A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a menor distância possível entre o ponto e o plano.
Passo 3
Vamos identificar os valores na nossa equação do plano e no ponto
:
-
, , , e (porque a equação é ) - As coordenadas de
são , ,
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
Passo 4
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Então, a distância
fica:
Resposta
Não, não existe nenhum ponto no plano
cuja distância ao ponto
seja menor que 1.
Exercícios relacionados
Considere o plano
de equação
e o ponto
.
(b) Determine as coordenadas do ponto que é a projeção ortogonal do ponto
sobre
;
(b) Determine as coordenadas do ponto
Determine a distancia da reta para o plano.
Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(b) (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})
(b) (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})
Obtenha uma equação geral da cônica dada abaixo por equações paramétricas
em seguida represente graficamente a cônica.