Considere o plano pi de equação pi: 2 x-y+2 z+1=0 e o ponto P=(1,1,1).
© Existe algum ponto do plano pi cuja distância ao ponto P é menor que 1? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano com a equação e um ponto . A pergunta é: existe algum ponto nesse plano que está mais perto do que 1 unidade de distância do ponto ? Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância entre um ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 e um plano dado pela equação . A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a menor distância possível entre o ponto e o plano.

Passo 3

Vamos identificar os valores na nossa equação do plano e no ponto d = |2(1) + (-1)(1) + 2(1) + 1|raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 :
  • , , , e (porque a equação é )
  • As coordenadas de são , ,
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da distância:

Passo 4

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
2(1) + (-1)(1) + 2(1) + 1 = 2 - 1 + 2 + 1 = 4
Denominador:
raiz2^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Então, a distância d = 43 approx 1,333 fica:

Resposta

Não, não existe nenhum ponto no plano cuja distância ao ponto seja menor que 1.

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