Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem 0 e forma ângulos de 60 com a reta
e com o plano
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passa pela origem e que faz um ângulo de 60 graus com uma reta específica e também com outro plano dado. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como vetores normais a planos e ângulos entre vetores e planos.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a equação geral de um plano que passa pela origem pode ser escrita como:
Aqui,
é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
que satisfazem as condições do problema.
Passo 3
Vamos analisar a primeira condição: o plano forma um ângulo de 60 graus com a reta
. A reta
é dada por:
O vetor diretor da reta
é
. O ângulo entre a reta e o plano é relacionado ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. A relação é:
Como o ângulo entre a reta e o plano é 60 graus, temos:
Passo 4
Vamos calcular
, que é
. Também,
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado para eliminar o valor absoluto:
Simplificando:
Essa é uma das equações que vamos usar.
Passo 5
Agora, vamos considerar a segunda condição: o plano forma um ângulo de 60 graus com o plano
dado por:
O vetor normal do plano
é
. O ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais, dado por:
Como o ângulo é 60 graus:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado:
Simplificando:
Agora temos duas equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Dividindo tudo por 2:
Podemos reescrever como:
Factorizando:
Isso sugere que podemos assumir uma relação entre A, B e C para simplificar. Vamos supor que
. Substituindo na equação:
Como
(caso contrário, o plano seria
, que também passa pela origem, mas não satisfaz todas as condições), temos:
Passo 8
Com
e
, podemos substituir na primeira equação do sistema:
Isso implica que
, o que contraria nossa suposição de
. Portanto, nossa suposição inicial estava incorreta. Precisamos tentar outra abordagem.
Passo 9
Vamos tentar expressar uma variável em termos das outras. Da segunda equação:
Podemos isolar
:
Substituindo na primeira equação:
Dividindo por 2:
Fatorando:
Ainda complicado, vamos tentar expressar
em termos de
e
:
Isolando
:
Passo 10
Com
, substituímos na segunda equação:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar a fração:
Podemos dividir por A² (assumindo A ≠ 0) e definir
:
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 11
Então, temos duas soluções para
:
Correspondentes a:
-
e -
e
Podemos escolher
para simplificar os coeficientes:
Para a primeira solução:
Para a segunda solução:
Resposta
As equações gerais dos planos são:
e
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