Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem 0 e forma ângulos de 60 com a reta e com o plano .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passa pela origem e que faz um ângulo de 60 graus com uma reta específica e também com outro plano dado. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como vetores normais a planos e ângulos entre vetores e planos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a equação geral de um plano que passa pela origem pode ser escrita como:
Aqui, é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem as condições do problema.

Passo 3

Vamos analisar a primeira condição: o plano forma um ângulo de 60 graus com a reta . A reta é dada por:
O vetor diretor da reta é . O ângulo entre a reta e o plano é relacionado ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. A relação é:
Como o ângulo entre a reta e o plano é 60 graus, temos:

Passo 4

Vamos calcular , que é . Também, . Substituindo na equação:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado para eliminar o valor absoluto:
Simplificando:
Essa é uma das equações que vamos usar.

Passo 5

Agora, vamos considerar a segunda condição: o plano forma um ângulo de 60 graus com o plano dado por:
O vetor normal do plano é . O ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais, dado por:
Como o ângulo é 60 graus:
Sabemos que e . Então:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ao quadrado:
Simplificando:
Agora temos duas equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Dividindo tudo por 2:
Podemos reescrever como:
Factorizando:
Isso sugere que podemos assumir uma relação entre A, B e C para simplificar. Vamos supor que . Substituindo na equação:
Como (caso contrário, o plano seria , que também passa pela origem, mas não satisfaz todas as condições), temos:

Passo 8

Com e , podemos substituir na primeira equação do sistema:
Isso implica que , o que contraria nossa suposição de . Portanto, nossa suposição inicial estava incorreta. Precisamos tentar outra abordagem.

Passo 9

Vamos tentar expressar uma variável em termos das outras. Da segunda equação:
Podemos isolar :
Substituindo na primeira equação:
Dividindo por 2:
Fatorando:
Ainda complicado, vamos tentar expressar em termos de e :
Isolando :

Passo 10

Com , substituímos na segunda equação:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar a fração:
Podemos dividir por A² (assumindo A ≠ 0) e definir :
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:

Passo 11

Então, temos duas soluções para :
Correspondentes a:
  1. e
  2. e
Podemos escolher para simplificar os coeficientes:
Para a primeira solução:
Para a segunda solução:

Resposta

As equações gerais dos planos são:
e

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