Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem 0 e forma ângulos de 60 com a reta r: X=(1,1,1)+lambda(0,1,-1) e com o plano pi: x-y+4=0.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passa pela origem e que faz um ângulo de 60 graus com uma reta específica e também com outro plano dado. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como vetores normais a planos e ângulos entre vetores e planos.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a equação geral de um plano que passa pela origem pode ser escrita como:
Ax + By + Cz = 0
Aqui, é o vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem as condições do problema.

Passo 3

Vamos analisar a primeira condição: o plano forma um ângulo de 60 graus com a reta r : X = (1, 1, 1) + lambda(0, 1, -1) . A reta sin(theta) = |n cdot u||n| |u| é dada por:
sin(60°) = |n cdot u||n| |u|
O vetor diretor da reta é . O ângulo entre a reta e o plano é relacionado ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. A relação é:
Como o ângulo entre a reta e o plano é 60 graus, temos:

Passo 4

Vamos calcular raiz32 = |A cdot 0 + B cdot 1 + C cdot (-1)|raizA^2 + B^2 + C^2 cdot raiz2 , que é raiz32 = |B - C|raiz2(A^2 + B^2 + C^2) . Também, raiz32 cdot raiz2(A^2 + B^2 + C^2) = |B - C| . Substituindo na equação:
34 cdot 2(A^2 + B^2 + C^2) = (B - C)^2
Simplificando:
32(A^2 + B^2 + C^2) = B^2 - 2BC + C^2
Multiplicando ambos os lados por 3A^2 + 3B^2 + 3C^2 = 2B^2 - 4BC + 2C^2 :
3A^2 + B^2 + C^2 + 4BC = 0
Elevando ao quadrado para eliminar o valor absoluto:
Simplificando:
Essa é uma das equações que vamos usar.

Passo 5

Agora, vamos considerar a segunda condição: o plano forma um ângulo de 60 graus com o plano pi : x - y + 4 = 0 dado por:
cos(theta) = |n cdot npi||n| |npi|
O vetor normal do plano cos(60°) = |A cdot 1 + B cdot (-1) + C cdot 0|raizA^2 + B^2 + C^2 cdot raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 é 12 = |A - B|raiz2(A^2 + B^2 + C^2) . O ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais, dado por:
Como o ângulo é 60 graus:
Sabemos que e . Então:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 12 cdot raiz2(A^2 + B^2 + C^2) = |A - B| :
14 cdot 2(A^2 + B^2 + C^2) = (A - B)^2
Elevando ao quadrado:
12(A^2 + B^2 + C^2) = A^2 - 2AB + B^2
A^2 + B^2 + C^2 = 2A^2 - 4AB + 2B^2
-A^2 - B^2 + C^2 + 4AB = 0
Simplificando:
Agora temos duas equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a segunda equação da primeira:
3A^2 + B^2 + C^2 + 4BC - (-A^2 - B^2 + C^2 + 4AB) = 0
3A^2 + B^2 + C^2 + 4BC + A^2 + B^2 - C^2 - 4AB = 0
4A^2 + 2B^2 + 4BC - 4AB = 0
Dividindo tudo por 2:
2A^2 + B^2 + 2BC - 2AB = 0
Podemos reescrever como:
2A^2 - 2AB + B^2 + 2BC = 0
Factorizando:
2A(A - B) + B(B + 2C) = 0
Isso sugere que podemos assumir uma relação entre A, B e C para simplificar. Vamos supor que 2A^2 + A^2 + 2A C = 0 . Substituindo na equação:
3A^2 + 2A C = 0
A(3A + 2C) = 0
3A + 2C = 0
Como C = -32A (caso contrário, o plano seria , que também passa pela origem, mas não satisfaz todas as condições), temos:

Passo 8

Com 3A^2 + B^2 + C^2 + 4BC = 0 e 3A^2 + A^2 + (-32A)^2 + 4A (-32A) = 0 , podemos substituir na primeira equação do sistema:
4A^2 + 94A^2 - 6A^2 = 0
(4 + 94 - 6)A^2 = 0
(164 + 94 - 244)A^2 = 0
14A^2 = 0
Isso implica que , o que contraria nossa suposição de . Portanto, nossa suposição inicial estava incorreta. Precisamos tentar outra abordagem.

Passo 9

Vamos tentar expressar uma variável em termos das outras. Da segunda equação:
-A^2 - B^2 + C^2 + 4AB = 0
Podemos isolar C^2 = A^2 + B^2 - 4AB :
3A^2 + B^2 + (A^2 + B^2 - 4AB) + 4BC = 0
Substituindo na primeira equação:
4A^2 + 2B^2 - 4AB + 4BC = 0
2A^2 + B^2 - 2AB + 2BC = 0
Dividindo por 2:
2A(A - B) + B(B + 2C) = 0
Fatorando:
2A(A - B) + B(B + 2C) = 0
Ainda complicado, vamos tentar expressar 2A^2 - 2AB + B^2 + 2BC = 0 em termos de 2BC = -2A^2 + 2AB - B^2 e C = -2A^2 + 2AB - B^22B :
C = -A + A BB - B2
C = -A + A - B2
Isolando C = -B2 :

Passo 10

Com C^2 = A^2 + B^2 - 4AB , substituímos na segunda equação:
(-B2)^2 = A^2 + B^2 - 4AB
B^24 = A^2 + B^2 - 4AB
B^2 = 4A^2 + 4B^2 - 16AB
Multiplicando tudo por 4 para eliminar a fração:
0 = 4A^2 + 3B^2 - 16AB
4 + 3k^2 - 16k = 0
Podemos dividir por A² (assumindo A ≠ 0) e definir 3k^2 - 16k + 4 = 0 :
k = 16 pm raiz256 - 486
Resolvendo a equação quadrática:
k = 16 pm raiz2086
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = 16 pm 4raiz136
k = 8 pm 2raiz133

Passo 11

Então, temos duas soluções para A = 3 :
  1. B = 8 + 2raiz13
  2. C = -8 + 2raiz132 = -4 - raiz13
Correspondentes a:
  1. A = 3 e B = 8 - 2raiz13
  2. C = -8 - 2raiz132 = -4 + raiz13 e
Podemos escolher para simplificar os coeficientes:
Para a primeira solução:
Para a segunda solução:

Resposta

As equações gerais dos planos são:
3x + (8 + 2raiz13)y + (-4 - raiz13)z = 0
e
3x + (8 - 2raiz13)y + (-4 + raiz13)z = 0

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