Prove que dados dois vetores
e
não paralelos então se
então
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado pede para provar que, se a combinação linear
de dois vetores não paralelos
e
resulta no vetor nulo
, então os coeficientes
e
devem ser ambos iguais a zero. Vamos precisar entender noções de vetores, combinação linear e vetores não paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a combinação linear
. Isso quer dizer que, somando
vezes o vetor
com
vezes o vetor
, o resultado é o vetor nulo, que não tem magnitude nem direção.
Passo 3
Como
e
não são paralelos, eles não apontam na mesma direção nem em direções opostas. Isso significa que nenhum deles é múltiplo escalar do outro. Ou seja, não existe um número
tal que
.
Passo 4
Vamos escrever as componentes dos vetores. Suponha que
e
. A equação
se traduz em:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
).
Passo 5
Para resolver esse sistema, podemos usar o método de determinantes. Escrevemos a matriz dos coeficientes:
O determinante dessa matriz é
. Se esse determinante for diferente de zero, isso significa que o único solução para o sistema é
.
Passo 6
Como os vetores
e
não são paralelos, o determinante
é diferente de zero. Portanto, a única solução para o sistema é
.
Resposta
Assim, provamos que
.
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e
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e
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e com o plano
.
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