Prove que dados dois vetores e não paralelos então se
então

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado pede para provar que, se a combinação linear de dois vetores não paralelos e resulta no vetor nulo , então os coeficientes e devem ser ambos iguais a zero. Vamos precisar entender noções de vetores, combinação linear e vetores não paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a combinação linear . Isso quer dizer que, somando vezes o vetor com vezes o vetor , o resultado é o vetor nulo, que não tem magnitude nem direção.

Passo 3

Como e não são paralelos, eles não apontam na mesma direção nem em direções opostas. Isso significa que nenhum deles é múltiplo escalar do outro. Ou seja, não existe um número tal que .

Passo 4

Vamos escrever as componentes dos vetores. Suponha que e . A equação se traduz em:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 5

Para resolver esse sistema, podemos usar o método de determinantes. Escrevemos a matriz dos coeficientes:
O determinante dessa matriz é . Se esse determinante for diferente de zero, isso significa que o único solução para o sistema é .

Passo 6

Como os vetores e não são paralelos, o determinante é diferente de zero. Portanto, a única solução para o sistema é .

Resposta

Assim, provamos que .

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e
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