Prove que dados dois vetores u e v não paralelos então se
lambda1 u+lambda2 v=0
então lambda1=lambda2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de vetores! O enunciado pede para provar que, se a combinação linear lambda1 u+lambda2 v de dois vetores não paralelos u e v resulta no vetor nulo 0, então os coeficientes lambda1 e lambda2 devem ser ambos iguais a zero. Vamos precisar entender noções de vetores, combinação linear e vetores não paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a combinação linear lambda1 u+lambda2 v=0. Isso quer dizer que, somando lambda1 vezes o vetor u com lambda2 vezes o vetor v, o resultado é o vetor nulo, que não tem magnitude nem direção.

Passo 3

Como u e v não são paralelos, eles não apontam na mesma direção nem em direções opostas. Isso significa que nenhum deles é múltiplo escalar do outro. Ou seja, não existe um número k tal que u = kv.

Passo 4

Vamos escrever as componentes dos vetores. Suponha que u = (u1, u2) e v = (v1, v2). A equação lambda1 u+lambda2 v=0 se traduz em:
lambda1 u1 + lambda2 v1 = 0 lambda1 u2 + lambda2 v2 = 0
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas ( lambda1 e lambda2).

Passo 5

Para resolver esse sistema, podemos usar o método de determinantes. Escrevemos a matriz dos coeficientes:
u1 & v1 u2 & v2
O determinante dessa matriz é u1 v2 - u2 v1. Se esse determinante for diferente de zero, isso significa que o único solução para o sistema é lambda1 = lambda2 = 0.

Passo 6

Como os vetores u e v não são paralelos, o determinante u1 v2 - u2 v1 é diferente de zero. Portanto, a única solução para o sistema é lambda1 = lambda2 = 0.

Resposta

Assim, provamos que lambda1 = lambda2 = 0.

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