Obtenha uma equação vetorial para a reta que passa pelo ponto , é paralela ou contida no plano , e concorrente com a reta nos seguintes casos.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria analítica. A missão é encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto , que seja paralela ou esteja contida no plano , e que seja concorrente com uma reta dada definida por . Vamos precisar entender conceitos de vetores, planos, paralelismo e concorrência de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa uma reta ser paralela ou estar contida em um plano. Se a direção da reta for perpendicular ao vetor normal do plano, ela será paralela ao plano. O vetor normal do plano é . Além disso, uma reta concorre com outra se elas se cruzam em um ponto comum.
Passo 3
Vamos começar encontrando a direção da reta que queremos. Como ela deve ser concorrente com a reta , precisamos que elas se cruzem. A reta tem direção . Para que nossa reta seja concorrente com , sua direção deve ser tal que haja um ponto em comum entre as duas retas.
Passo 4
Além disso, nossa reta precisa ser paralela ou estar contida no plano . Se for paralela, a direção da reta deve satisfazer , onde representa o produto escalar. Calculando isso:
Passo 5
Vamos então supor que seja proporcional a , já que as retas são concorrentes. Assim, podemos escrever nossa direção como , onde é uma constante.
Passo 6
Aplicando a condição de paralelismo com o plano :
Isso confirma que qualquer múltiplo de satisfaz a condição de paralelismo.
Passo 7
Agora, já que a reta precisa passar pelo ponto , podemos usar a forma vetorial da reta: