Obtenha uma equação vetorial para a reta que passa pelo ponto P, é paralela ou contida no plano pi, e concorrente com a reta r nos seguintes casos.
P=(1,0,1) pi: x-3 y-z=1 X=(0,0,0)+lambda(2,1,-1)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria analítica. A missão é encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto , que seja paralela ou esteja contida no plano , e que seja concorrente com uma reta dada definida por . Vamos precisar entender conceitos de vetores, planos, paralelismo e concorrência de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa uma reta ser paralela ou estar contida em um plano. Se a direção da reta for perpendicular ao vetor normal do plano, ela será paralela ao plano. O vetor normal do plano é . Além disso, uma reta concorre com outra se elas se cruzam em um ponto comum.

Passo 3

Vamos começar encontrando a direção da reta que queremos. Como ela deve ser concorrente com a reta , precisamos que elas se cruzem. A reta tem direção . Para que nossa reta seja concorrente com , sua direção deve ser tal que haja um ponto em comum entre as duas retas.

Passo 4

Além disso, nossa reta precisa ser paralela ou estar contida no plano d cdot n = dx cdot 1 + dy cdot (-3) + dz cdot (-1) = 0 . Se for paralela, a direção da reta deve satisfazer , onde representa o produto escalar. Calculando isso:

Passo 5

Vamos então supor que seja proporcional a , já que as retas são concorrentes. Assim, podemos escrever nossa direção como , onde é uma constante.

Passo 6

Aplicando a condição de paralelismo com o plano (2k) cdot 1 + (1k) cdot (-3) + (-1k) cdot (-1) = 0 2k - 3k + k = 0 0 = 0 :
Isso confirma que qualquer múltiplo de satisfaz a condição de paralelismo.

Passo 7

Agora, já que a reta precisa passar pelo ponto X = P + lambda d X = (1, 0, 1) + lambda(2, 1, -1) , podemos usar a forma vetorial da reta:

Resposta

A equação vetorial da reta é .

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