Resolva o problema a seguir por meio do cálculo da inversa de uma matriz. Encontre a inversa dessa matriz por meio de operações elementares.
x-2 y+z & =1 2 x+y & =3 y-5 z & =4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a inversa da matriz. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente matrizes e suas inversas. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular sua inversa e, por fim, multiplicar essa inversa pelo vetor dos termos constantes para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes A = 1 & -2 & 1 2 & 1 & 0 0 & 1 & -5 e b = 1 3 4 e o vetor dos termos constantes a partir do sistema de equações:

Passo 3

Para encontrar a inversa da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) , precisamos primeiro calcular o determinante de det(A) = 1 times (1 times (-5) - 0 times 1) - (-2) times (2 times (-5) - 0 times 0) + 1 times (2 times 1 - 1 times 0) = -5 + 20 + 2 = 17 . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte maneira:
Aplicando isso à nossa matriz:
Como , a matriz é invertível.

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz adjunta de Cofator11 = (1 times (-5) - 0 times 1) = -5 Cofator12 = - (2 times (-5) - 0 times 0) = 10 Cofator13 = (2 times 1 - 1 times 0) = 2 Cofator21 = - (-2 times (-5) - 1 times 1) = -9 Cofator22 = (1 times (-5) - 1 times 0) = -5 Cofator23 = - (1 times 1 - (-2) times 0) = -1 Cofator31 = (-2 times 1 - 1 times 1) = -3 Cofator32 = - (1 times 1 - 1 times 2) = 1 Cofator33 = (1 times 1 - (-2) times 2) = 5 , que é a transposta da matriz dos cofatores. Primeiro, encontramos os cofatores de cada elemento de Cof(A) = -5 & 10 & 2 -9 & -5 & -1 -3 & 1 & 5 :
Adj(A) = -5 & -9 & -3 10 & -5 & 1 2 & -1 & 5
Então, a matriz dos cofatores é:
A adjunta de é a transposta dessa matriz:

Passo 5

Com a adjunta de A^-1 = 1det(A) times Adj(A) e o determinante, podemos encontrar a inversa de A^-1 = 117 -5 & -9 & -3 10 & -5 & 1 2 & -1 & 5 usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar a inversa de x = A^-1 times b = 117 -5 & -9 & -3 10 & -5 & 1 2 & -1 & 5 1 3 4 pelo vetor x = 117 (-5)(1) + (-9)(3) + (-3)(4) 10(1) + (-5)(3) + 1(4) 2(1) + (-1)(3) + 5(4) = 117 -5 -27 -12 10 -15 +4 2 -3 +20 = 117 -44 -1 19 para encontrar o vetor solução :
Fazendo a multiplicação:

Resposta

Portanto, as soluções do sistema são:
x = -4417, y = -117, z = 1917

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