Verifique se os conjuntos abaixo formam um subespaço. ; a d >= b c
Passo 1
Beleza! Vamos ver se o conjunto W = A in M(2,2) ,g|, A = a & b c & d ; , ad >= bc forma um subespaço. O enunciado nos dá:
Aqui, estamos lidando com matrizes 2x2 e uma condição que relaciona os elementos da matriz. Para verificar se é um subespaço, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades de subespaços vetoriais. Vamos precisar verificar três coisas:
Se a matriz zero está em .
Se é fechado sob soma.
Se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a matriz zero está em 0 = 0 & 0 0 & 0 . A matriz zero em 0 times 0 >= 0 times 0 Rightarrow 0 >= 0 é:
Vamos verificar a condição :
Isso é verdadeiro, então a matriz zero está em .
Passo 3
Agora, vamos checar se A = a & b c & d in W Rightarrow ad >= bc é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes em B = e & f g & h in W Rightarrow eh >= fg , a soma delas também está em A + B = a+e & b+f c+g & d+h .
Precisamos verificar se . Porém, isso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo:
Se , , e , :
Aqui, é verdadeiro. Mas se escolhermos , , , :
Isso ainda satisfaz, mas existem combinações onde a desigualdade não se mantém. Portanto, não é fechado sob adição em geral.
Passo 4
Como já vimos que não é fechado sob adição, não precisamos verificar a multiplicação por escalar. Já que uma das condições não é satisfeita, podemos concluir que não é um subespaço de .