Considere o subespaço de gerado por . Exiba uma base e dê a dimensão de . Justifique porque os elementos em questão formam uma base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente trabalhar com um subespaço de (que são os polinômios de grau no máximo 2). A gente tem um conjunto de geradores: , , , e . A missão aqui é encontrar uma base para e descobrir qual é a sua dimensão. Para isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear, independência linear e como formar bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores (ou, nesse caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. A dimensão é simplesmente o número de elementos nessa base. Para encontrar uma base, precisamos verificar se os geradores dados são linearmente independentes. Se não forem, vamos remover alguns até que fiquem independentes.
Passo 3
Vamos organizar os polinômios em termos de suas potências de :
pode ser escrito como
já está na forma
é
é
Isso nos ajuda a visualizar melhor para montar um sistema de equações.
Passo 4
Para verificar a independência linear, montamos uma combinação linear igual a zero:
Expandindo, temos:
Isso quer dizer que os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da equação 3, temos .
Substituindo na equação 1: , então .
Da equação 2: , então .
Portanto, todas as variáveis são expressas em função de . Isso significa que existe uma combinação não trivial que resulta em zero, então os polinômios não são linearmente independentes.
Passo 6
Como os polinômios não são todos independentes, vamos eliminar alguns para encontrar uma base. Podemos, por exemplo, remover , já que ele é uma combinação de e :
Então, ficamos com , , e . Agora, vamos verificar se esses três são independentes.
Passo 7
Montamos novamente a combinação linear igual a zero:
Expandindo:
Igualando os coeficientes a zero:
Da equação 3, . Substituindo em 1, , então . E da equação 2, . Só a solução trivial existe, então os polinômios são linearmente independentes.
Passo 8
Agora que temos três polinômios linearmente independentes que geram , eles formam uma base para . A dimensão de é o número de elementos na base, que nesse caso é 3.
Resposta
Uma base para é e a dimensão de é 3. Esses elementos formam uma base porque são linearmente independentes e geram todo o subespaço .