Considere W o subespaço de P2 gerado por 2, t, 1+t, t^2+1. Exiba uma base e dê a dimensão de W. Justifique porque os elementos em questão formam uma base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente trabalhar com um subespaço de (que são os polinômios de grau no máximo 2). A gente tem um conjunto de geradores: , , , e . A missão aqui é encontrar uma base para e descobrir qual é a sua dimensão. Para isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear, independência linear e como formar bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores (ou, nesse caso, polinômios) que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. A dimensão é simplesmente o número de elementos nessa base. Para encontrar uma base, precisamos verificar se os geradores dados são linearmente independentes. Se não forem, vamos remover alguns até que fiquem independentes.

Passo 3

Vamos organizar os polinômios em termos de suas potências de :
  • pode ser escrito como
  • já está na forma
  • é
  • é
Isso nos ajuda a visualizar melhor para montar um sistema de equações.

Passo 4

Para verificar a independência linear, montamos uma combinação linear igual a zero:
a cdot 2 + b cdot t + c cdot (1 + t) + d cdot (t^2 +1) = 0
Expandindo, temos:
(2a + c + d) + (b + c)t + d t^2 = 0
Isso quer dizer que os coeficientes de cada potência de devem ser zero:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da equação 3, temos .
Substituindo na equação 1: , então .
Da equação 2: , então .
Portanto, todas as variáveis são expressas em função de . Isso significa que existe uma combinação não trivial que resulta em zero, então os polinômios não são linearmente independentes.

Passo 6

Como os polinômios não são todos independentes, vamos eliminar alguns para encontrar uma base. Podemos, por exemplo, remover 1 + t = 1 cdot 1 + 1 cdot t , já que ele é uma combinação de e :
Então, ficamos com , , e . Agora, vamos verificar se esses três são independentes.

Passo 7

Montamos novamente a combinação linear igual a zero:
a cdot 2 + b cdot t + c cdot (t^2 +1) = 0
Expandindo:
(2a + c) + bt + ct^2 = 0
Igualando os coeficientes a zero:
Da equação 3, . Substituindo em 1, , então . E da equação 2, . Só a solução trivial existe, então os polinômios são linearmente independentes.

Passo 8

Agora que temos três polinômios linearmente independentes que geram , eles formam uma base para . A dimensão de é o número de elementos na base, que nesse caso é 3.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 3. Esses elementos formam uma base porque são linearmente independentes e geram todo o subespaço .

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