Obtenha uma equação vetorial para a reta , concorrente com e nos seguintes casos: e
e é paralela à reta determinada por e .
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos encontrar uma equação vetorial para a reta que é concorrente com as retas e , além de ser paralela à reta determinada pelos pontos e . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações de retas e condições de concorrência e paralelismo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a reta , que já está dada em forma vetorial:
onde é um parâmetro real. Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação paramétrica da reta a partir do sistema de equações fornecido:
Para isso, vamos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função de uma terceira.
Passo 4
Primeiro, resolvemos a segunda equação para :
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:
Resolvendo para :
Podemos usar como parâmetro, digamos .
Passo 5
Com , temos:
E substituindo em :
Portanto, a equação paramétrica da reta é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a reta que é concorrente com e , e paralela à reta determinada por e . Primeiro, vamos determinar o vetor diretor da reta :
Então, o vetor diretor de será .
Passo 7
Como X = (1,1,-1) + lambda (2,1,-1) é concorrente com X = (13, 23, 0) + t(53, 43, 1) e 1 + 2lambda = 13 + 53 t (1) , existe um ponto comum que pertence às duas retas 1 + lambda = 23 + 43 t (2) e -1 - lambda = 0 + t (3) . Vamos encontrar esse ponto de interseção resolvendo as equações de e simultaneamente.