Obtenha uma equação vetorial para a reta t, concorrente com r e s nos seguintes casos:
r: X=(1,1,-1)+lambda(2,1,-1) e s:rx+y-3 z=1 2 x-y-2 z=0
e t é paralela à reta determinada por M=(1,-1,4) e N=(0,-3,-1).

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos encontrar uma equação vetorial para a reta que é concorrente com as retas e , além de ser paralela à reta determinada pelos pontos e . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica no espaço, como equações de retas e condições de concorrência e paralelismo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a reta X = (1,1,-1) + lambda (2,1,-1) , que já está dada em forma vetorial:
onde é um parâmetro real. Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação paramétrica da reta x + y - 3z = 1 2x - y - 2z = 0 a partir do sistema de equações fornecido:
Para isso, vamos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função de uma terceira.

Passo 4

Primeiro, resolvemos a segunda equação para 2x - y - 2z = 0 Rightarrow y = 2x - 2z :
x + (2x - 2z) - 3z = 1 Rightarrow 3x - 5z = 1
Agora, substituímos esse valor de x = 1 + 5z3 na primeira equação:
Resolvendo para :
Podemos usar como parâmetro, digamos .

Passo 5

Com x = 1 + 5t3 , temos:
y = 2(1 + 5t3) - 2t = 2 + 10t3 - 2t = 2 + 10t - 6t3 = 2 + 4t3
E substituindo em X = (13, 23, 0) + t(53, 43, 1) :
Portanto, a equação paramétrica da reta é:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a reta MN = N - M = (0-1, -3-(-1), -1-4) = (-1, -2, -5) que é concorrente com e , e paralela à reta determinada por e . Primeiro, vamos determinar o vetor diretor da reta :
Então, o vetor diretor de será .

Passo 7

Como X = (1,1,-1) + lambda (2,1,-1) é concorrente com X = (13, 23, 0) + t(53, 43, 1) e 1 + 2lambda = 13 + 53 t (1) , existe um ponto comum que pertence às duas retas 1 + lambda = 23 + 43 t (2) e -1 - lambda = 0 + t (3) . Vamos encontrar esse ponto de interseção resolvendo as equações de e simultaneamente.
Igualando as componentes de e :
Para :
Para :
Igualando as componentes:

Passo 8

Resolvendo a equação (3):
t = -1 - lambda
Substituindo 1 + lambda = 23 + 43 (-1 - lambda) na equação (2):
1 + lambda = 23 - 43 - 43 lambda
1 + lambda = -23 - 43 lambda
3 + 3lambda = -2 - 4lambda
Multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
7lambda = -5 Rightarrow lambda = -57
t = -1 - (-57) = -27
Então:
X = (1,1,-1) + (-57) (2,1,-1) = (1 - 107, 1 - 57, -1 + 57) = (-37, 27, -27)
Substituindo na equação de :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 9

Finalmente, podemos escrever a equação vetorial da reta X = (-37, 27, -27) + mu (-1, -2, -5) , que passa pelo ponto e tem o vetor diretor :
onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação vetorial da reta X = (-37, 27, -27) + mu (-1, -2, -5) é:
onde é um parâmetro real.

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